Ker et Im d'endomorphisme

non

à priori on est tenté de dire oui vu que c'est compatible au niveau dimension mais c'est faux

par exemple prend une application dont le carré est nul comme
$\begin{bmatrix}
0&1\\
0&0
\end{bmatrix}$

dans $\R^2$.

après si tu veux trouver une cns pour qu'il y ait somme directe c'est autrement plus difficile!

par exemple pour une matrice positive (mais pas forcément symétrique) c'est le cas

Pour une matrice diagonalisable aussi

et puis bon courage pour continuer

ps : il paraît que c'était l'objet de mon oral de l'X et j'ai rien compris!