Projection orthogonale de polynômes
Petite question un peu philosophique sur un dérivé de l'exo 10 p59 du bouquin d'analyse fonctionnelle de Samuelides...
Il s'agit de trouver le polynôme aX²+bX+c le plus proche de X^4 pour la distance : d(f,g)=Integ (-1 à +1) de [f(x)-g(x)]² dx
Solution officielle :
On fait une projection orthogonale, donc tout poly f(x) tel que x^4=f(x)+ax²+bx+c sera tel que (Lx²+Mx+N | f(x))=0, c'est à dire (X^4 - (aX²+bX+c) | Lx²+Mx+N) = 0 et donc en particulier :
(X^4 - (aX²+bX+c) | X²) = 0
(X^4 - (aX²+bX+c) | X) = 0
(X^4 - (aX²+bX+c) | 1) = 0
ce qui permet de trouver a=6/7, b=0 et c=-3/35
Solution alternative :
Pourquoi ne pourrais-je pas directement projeter X^4 sur 1, puis sur X, puis sur X² ?
(dans la pratique : (X^4 | aX²) = polynôme en a , que je minimise en le dérivant pour obtenir une valeur de a , et pareil sur bX et sur c.1)
Je trouve alors b=0 (rassurant pour un poly de degré pair !) mais a=5/6 et c=-1/7, donc pas les mêmes coeff.
Je m'attendais pourtant à trouver les mêmes coeffs, à la limite à un (même) facteur multiplicatif près, vu que (1,X, X²) est sensée être une base orthogonale...
Il s'agit de trouver le polynôme aX²+bX+c le plus proche de X^4 pour la distance : d(f,g)=Integ (-1 à +1) de [f(x)-g(x)]² dx
Solution officielle :
On fait une projection orthogonale, donc tout poly f(x) tel que x^4=f(x)+ax²+bx+c sera tel que (Lx²+Mx+N | f(x))=0, c'est à dire (X^4 - (aX²+bX+c) | Lx²+Mx+N) = 0 et donc en particulier :
(X^4 - (aX²+bX+c) | X²) = 0
(X^4 - (aX²+bX+c) | X) = 0
(X^4 - (aX²+bX+c) | 1) = 0
ce qui permet de trouver a=6/7, b=0 et c=-3/35
Solution alternative :
Pourquoi ne pourrais-je pas directement projeter X^4 sur 1, puis sur X, puis sur X² ?
(dans la pratique : (X^4 | aX²) = polynôme en a , que je minimise en le dérivant pour obtenir une valeur de a , et pareil sur bX et sur c.1)
Je trouve alors b=0 (rassurant pour un poly de degré pair !) mais a=5/6 et c=-1/7, donc pas les mêmes coeff.
Je m'attendais pourtant à trouver les mêmes coeffs, à la limite à un (même) facteur multiplicatif près, vu que (1,X, X²) est sensée être une base orthogonale...
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Réponses
Sauf erreur de ma part.
rigolo que j'aie écrit
"vu que (1,X, X²) est sensée être une base orthogonale..."
sans réaliser que j'aurais dû le vérifier !