Dual et orthogonal.
Bonsoir,
j'ai une question:
Soit:
L un espace vectoriel de dimension finie
L* son dual.
Peut-on prouver que pour un sous-espace vectoriel M* de L*, il existe un sous-espace vectoriel M de L dont l'orthogonal soit M*?
En sachant que, comme L est de dimension finie, ce sous espace vectoriel M ne peut être que l'ensemble des éléments de L annulant toutes les formes linéaires M*.
Merci d'avance.
j'ai une question:
Soit:
L un espace vectoriel de dimension finie
L* son dual.
Peut-on prouver que pour un sous-espace vectoriel M* de L*, il existe un sous-espace vectoriel M de L dont l'orthogonal soit M*?
En sachant que, comme L est de dimension finie, ce sous espace vectoriel M ne peut être que l'ensemble des éléments de L annulant toutes les formes linéaires M*.
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Où est le problème ? Tu demandes comment prouver qu'un sous-espace $M$ existe et trois lignes plus loin tu donnes une description précise de ce sous-espace, donc tu réponds à ta question non ? En posant comme tu le suggères $M = \{ \, x \in L \, | \, \forall \varphi \in M^*, \, < \varphi, x > = 0 \, \}$, on montre aisément par double inclusion que $M^*$ est l'orthogonal de $M$...
mais malheureusement, si j'arrive à montrer :
M* $\subset$ M°,
je n'arrive pas à montrer l'inclusion réciproque.
Pour l'inclusion réciproque je n'ai qu'une méthode moche et inélégante mais qui marche bien. Elle repose sur le lemme suivant : soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $F \subset E$ un sous-espace de dimension $d$ ; alors $F^{\perp}$ est de dimension $n-d$. Le plus simple pour le démontrer est de se donner une base $(x_1,...,x_d)$ de $F$, de la compléter en une base $(x_1,...,x_n)$ de $E$, de considérer la base duale $(x_1^*,...,x_n^*) de $E^*$ et de constater que $F^{\perp}$ est alors exactement le Vect de $(x_{d+1}^*,...,x_n^*)$.
Pour revenir à notre exo, le $M$ que nous avons défini est (canoniquement) isomorphe au sous-espace $(M^*)^{perp}$ du bidual $L^{**}$, d'où en notant $n=\dim L^*$ et $d=\dim M^*$ on a $\dim M = \dim (M^*)^{\perp}=n-d$ d'après le lemme appliqué à $M^* \subset L^*$. En appliquant à nouveau le lemme, cette fois-ci à $M \subset L$, on obtient $\dim M^{\perp} = \dim L - \dim M = n -(n-d)=d = \dim M^*$. D'où avec l'inclusion déjà démontrée, $M^{\perp}=M^*$.
J'espère que je ne me mords pas la queue dans ce qui précède, notamment en ce qui concerne la bidualité ; et surtout j'espère qu'un(e) algébriste digne de ce nom viendra te proposer une preuve plus limpide et moins balourde !
Pour l'inclusion réciproque je n'ai qu'une méthode moche et inélégante mais qui marche bien. Elle repose sur le lemme suivant : soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $F \subset E$ un sous-espace de dimension $d$ ; alors $F^{\perp}$ est de dimension $n-d$. Le plus simple pour le démontrer est je pense de se donner une base $(x_1,...,x_d)$ de $F$, de la compléter en une base $(x_1,...,x_n)$ de $E$, de considérer la base duale $(x_1^*,...,x_n^*)$ de $E^*$ et de constater que $F^{\perp}$ est alors exactement le Vect de $(x_{d+1}^*,...,x_n^*)$.
Pour revenir à notre exo, le $M$ que nous avons défini est (canoniquement) isomorphe au sous-espace $(M^*)^{perp}$ du bidual $L^{**}$, d'où en notant $n=\dim L^*$ et $d=\dim M^*$ on a $\dim M = \dim (M^*)^{\perp}=n-d$ d'après le lemme appliqué à $M^* \subset L^*$. En appliquant à nouveau le lemme, cette fois-ci à $M \subset L$, on obtient $\dim M^{\perp} = \dim L - \dim M = n -(n-d)=d = \dim M^*$. D'où avec l'inclusion déjà démontrée, $M^{\perp}=M^*$.
J'espère que je ne me mords pas la queue dans ce qui précède, notamment en ce qui concerne la bidualité ; et surtout j'espère qu'un(e) algébriste digne de ce nom viendra te proposer une preuve plus limpide et moins balourde !
j'arrive à un cercle vicieux quand on passe au bidual:
comment démontrer l'isomorphisme entre M et $ (M^*)^{perp}$ autrement qu'en admettant le résultat que je veux justement démontrer?
En notant u l'isomorphisme canonique entre L et L**, il faut démontrer une double inclusion entre u(M) et $ (M^*)^{perp}$,
pour u(M) $\subset$ $ (M^*)^{perp}$ c'est bon,
mais pour $ (M^*)^{perp}$ $\subset$ u(M), je bloque encore une fois.
Sans cela, la démonstration était bien trouvée, merci pour ta contribution.
Bon, on se donne une base $(e_1, ..., e_n)$, de $L$ et on définit le produit scalaire adapté à cette base (de telle sorte qu'elle soit orthonormale). Ce produit scalaire fournit un isomorphisme entre l'espace et son dual. On considère l'image réciproque de $M^*$ par cet isomorphisme, et on considère l'orthogonal (au sens du produit scalaire) de cet espace, qu'on appelle $M$. Alors l'orthogonal de $M$ (au sens des formes linéaires) est $M^*$.
ta démonstration utilise des notions que je n'ai pas encore vues donc je vais voir ca.