calcul du polynôme minimal
Bonjour
Dans le recueil de problèmes "concours blancs", Dunod, les auteurs écrivent : " nous vous mettons au défi de trouver le polynôme minimal sur Q de (5^1/7).(3^1/5) + 2^1/3 ".
Je ne demande pas de relever le défi !
Mais, il y a deux interprétations mathématiques possibles à cette phrase :
ou bien : 1) il existe a, algébrique sur Q, tel qu'il est impossible de calculer le polynôme minimal de a.
ou bien : 2) quel que soit a, algébrique sur Q, il est toujours possible de calculer le polynôme minimal de a. ( cela au prix de calculs délicats et de contorsions pertinentes )
Quelle est la réponse: 1 ou 2 ? Merci
Dans le recueil de problèmes "concours blancs", Dunod, les auteurs écrivent : " nous vous mettons au défi de trouver le polynôme minimal sur Q de (5^1/7).(3^1/5) + 2^1/3 ".
Je ne demande pas de relever le défi !
Mais, il y a deux interprétations mathématiques possibles à cette phrase :
ou bien : 1) il existe a, algébrique sur Q, tel qu'il est impossible de calculer le polynôme minimal de a.
ou bien : 2) quel que soit a, algébrique sur Q, il est toujours possible de calculer le polynôme minimal de a. ( cela au prix de calculs délicats et de contorsions pertinentes )
Quelle est la réponse: 1 ou 2 ? Merci
Réponses
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Tu considères Q[x] qui est un Q ev, puis m_x la multiplication par x sur Q[x], considérée comme application Q linéaire. Puis tu calcules le polynôme caractéristique, puis minimal, de cette application linéaire. Bon au maximun tu as une matrice 105*105 à calculer...
Je ne suis pas sûr que ce soit très efficace, mais ça doit marcher...
Plus sérieusement la théorie de Galois permet parfois de raccourcir les calculs, encore que je ne sais pas si c'est toujours très facile ... -
Connaît-on des manières de déterminer rapidement le degré du polynôme minimal de l'horreur d'au dessus ?
-
D'un point de vue algorithmique, il ne me semble pas évident de déterminer le polynôme minimal d'un nombre algébrique, ni son degré. Ici il faut considérer le corps engendré par les racines des polynômes X^7-5, X^5-3 et X^3-2. Ensuite il faut savoir calculer dans ce corps, ce qui revient au moins à savoir calculer le groupe de Galois. Une fois qu'on a l'action de Galois, on peut calculer (numériquement) tous les conjugués du nombre algébrique en question. Le degré du polynôme minimal est alors égal au nombre de conjugués distincts. C'est au moins une façon de faire mais je ne suis pas spécialiste en algorithmique...
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Pour calculer des polynômes minimaux, on peut utiliser l'algorithme LLL, une description des applications de cet algorithme est dispo sur la page d'Henri Cohen, sinon dans son livre "A Course In Computationnal Algebraic Number Theory", il l'étudie en détail.
-
En théorie algébrique et algorithmique des nombres, le problème est souvent l'inverse : on définit un corps par son polynôme. Celui-ci contient alors en son sein les invariants du corps étudié (discriminant, base entière, nombre de classes, unités, etc).
En revanche, le logiciel procède assez facilement à l'établissement du polynôme d'un corps composé. L'algorithme est fondé su la théorie des résultants, et, si le degré n'est pas trop grand, les résultats sont assez rapides en général.
Prenons l'exemple fournit par bs, et posons $\theta_1 = 5^{1/7} \times 3^{1/5}$, $\theta_2 = 2^{1/3}$ et $\theta = \theta_1 + \theta_2$. Soient les corps de nombres $\K_i = \Q(\theta_i)$ et $\K = \Q(\theta)$. Si les $\K_i$ sont linéairement disjoints sur $\Q$ et galoisiens, alors $\K = \K_1 \K_2$. Le logiciel PARI/GP fournit alors, en moins de 3 secondes, le polynôme minimal de $\theta$ suivant :
$$\begin{multline}
X^{105} - 70X^{102} + 2380 X^{99} - 52360 X^{96} //
+ 837760 X^{93} - 10388224 X^{90} + 103882240 X^{87} //
- 860738560 X^{84} + 6025169920 X^{81} - 36151019520 X^{78} //
+ 187985301504 X^{75} - 854478643200 X^{72} //
+ 20503125 X^{70} - 3417914572800 X^{69} //
+ 3171833443750 X^{67} - 12094159257600 X^{66} //
+ 292540637812500 X^{64} + 38010214809600 X^{63} //
+ 71218884082500000 X^{61} - 106428601466880 X^{60} //
+ 7022363497002000000 X^{58} + 266071503667200 X^{57} //
+ 344142156270427200000 X^{55} - 594748067020800 X^{54} //
+ 9429544819435356000000 X^{52} + 1189496134041600 X^{51} //
+ 155636457967538460000000 X^{49} //
- 2128572029337600 X^{48} //
+ 1626177226413761280000000 X^{46} //
+ 3405715246940160 X^{45} //
+ 11125397916665036928000000 X^{43} //
- 4865307495628800 X^{42} //
+ 50977672936246567526400000 X^{40} //
+ 6192209539891200 X^{39} //
+ 158681358448010276256000000 X^{37} //
- 6999889045094400 X^{36} //
+ 140126044921875 X^{35} //
+ 337989524770569490560000000 X^{34} //
+ 6999889045094400 X^{33} //
- 1834249928027343750 X^{32} //
+ 493120231798094208000000000 X^{31} //
- 6159902359683072 X^{30} //
+ 909787964301562500000 X^{29} //
+ 490284065136956884992000000 X^{28} //
+ 40 X^{25} - 3158924287016960 X^{24} //
+ 1870854886591031250000000 X^{23} //
+ 145192910102465218560000000 X^{22} //
+ 1805099592581120 X^{21} //
- 14563885732539412500000000 X^{20} //
+ 400 X^{17} + 7164876784824557568000000 X^{16} //
+ 348570955808768 X^{15} //
- 41611102092969750000000000 X^{14} //
+ 717299001221677056000000 X^{13} //
- 112442243809280 X^{12} //
+ 14966839092728250000000000 X^{11} //
+ 37367123461432934400000 X^{10} //
+ 28110560952320 X^{9} //
- 1688566461743700000000000 X^{8} //
+ 856490859823104000000 X^7 //
- 5111011082240 X^6 //
+ 46581143772240000000000 X^5 //
+ 6242474262528000000 X^4 //
+ 601295421440 X^3 //
- 170751993300000000000 X^2 //
+ 6019743744000000 X //
+ 319224646053286746007
\end{multline}$$
Borde. -
Le polynôme n'est pas passé...dommage (degré = 105). Voir le code latex.
Borde. -
Je remets le polynôme sans LaTeX :
X^{105} - 70X^{102} + 2380 X^{99} - 52360 X^{96}
+ 837760 X^{93} - 10388224 X^{90} + 103882240 X^{87}
- 860738560 X^{84} + 6025169920 X^{81} - 36151019520 X^{78}
+ 187985301504 X^{75} - 854478643200 X^{72}
+ 20503125 X^{70} - 3417914572800 X^{69}
+ 3171833443750 X^{67} - 12094159257600 X^{66}
+ 292540637812500 X^{64} + 38010214809600 X^{63}
+ 71218884082500000 X^{61} - 106428601466880 X^{60}
+ 7022363497002000000 X^{58} + 266071503667200 X^{57}
+ 344142156270427200000 X^{55} - 594748067020800 X^{54}
+ 9429544819435356000000 X^{52} + 1189496134041600 X^{51}
+ 155636457967538460000000 X^{49}
- 2128572029337600 X^{48}
+ 1626177226413761280000000 X^{46}
+ 3405715246940160 X^{45}
+ 11125397916665036928000000 X^{43}
- 4865307495628800 X^{42}
+ 50977672936246567526400000 X^{40}
+ 6192209539891200 X^{39}
+ 158681358448010276256000000 X^{37}
- 6999889045094400 X^{36}
+ 140126044921875 X^{35}
+ 337989524770569490560000000 X^{34}
+ 6999889045094400 X^{33}
- 1834249928027343750 X^{32}
+ 493120231798094208000000000 X^{31}
- 6159902359683072 X^{30}
+ 909787964301562500000 X^{29}
+ 490284065136956884992000000 X^{28}
+ 40 X^{25} - 3158924287016960 X^{24}
+ 1870854886591031250000000 X^{23}
+ 145192910102465218560000000 X^{22}
+ 1805099592581120 X^{21}
- 14563885732539412500000000 X^{20}
+ 400 X^{17} + 7164876784824557568000000 X^{16}
+ 348570955808768 X^{15}
- 41611102092969750000000000 X^{14}
+ 717299001221677056000000 X^{13}
- 112442243809280 X^{12}
+ 14966839092728250000000000 X^{11}
+ 37367123461432934400000 X^{10}
+ 28110560952320 X^{9}
- 1688566461743700000000000 X^{8}
+ 856490859823104000000 X^7
- 5111011082240 X^6
+ 46581143772240000000000 X^5
+ 6242474262528000000 X^4
+ 601295421440 X^3
- 170751993300000000000 X^2
+ 6019743744000000 X
+ 319224646053286746007.
Borde. -
Bonsoir,
question bête:
pouvait-on savoir a l'avance que le degre du polynome minimal etait 105?
la seule chose que je crois juste c'est que le degré du polynome minimal divise 105 avec la justification 105=5*7*3. -
Si les corps ci-dessus sont linéairement disjoints, alors le degré du corps composé est le produit des degrés des corps.
Borde. -
merci
Mais ici prouver que les corps sont linéairement disjoints, est-ce du meme ordre de difficulté que de trouver le polynome minimal?
(apriori je dirais oui...) et procéderais comme ca:
$\theta_3 \not\in \Q(\theta_1,\theta_2) $
et en permuttant les trois racines a chaque fois...
la question:
la démarche est bonne?
pas efficace?
optimale?(tant qu'à faire)
merci -
Une condition suffisante pour montrer que des corps de nombres sont linéairement disjoints sur $\Q$ est de vérifier que leurs degrés sont premiers entre eux.
Borde. -
bonjour,
merci à tous les intervenants, j' ai compris que la réponse à ma question est l'option n°2.
un grand merci à Borde envers qui je ne pourrai malheureusement jamais renvoyer l'ascenseur; le calcul du polynôme minimal à l'aide du logiciel est spectaculaire.
le nombre objet de ce fil n'est pas de mon invention mais proposé dans le recueuil "concours blancs". A ce sujet,est-il possible de savoir si Mélissa et/ou Jérôme ,auteurs de l'ouvrage ,font partie des mathernautes qui sont venus sur ce fil ?oui?non? J'apprécie votre livre qui contient de nombreux développements pour l'agrégation, très détaillés :théorèmes de Carathéodory, Weierstrass par la méthode de Landau, Wedderburn, théorème des deux carrés, méthode de Laplace ... -
De rien, bs...De plus, je crois que tout le monde, ici, se renvoie plus ou moins mutuellement l'ascenseur, non ?
Borde.
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