C*-algebre

en fait, si $a$ est un élement d'une $C^*$-algèbre alors l'inverse de $a$ appartient à la $C^*$-algèbre engendrée par $a$, ou comme tu le dis, à la clôture de $C(a,a^*)$. La réponse à ta question en découle.

Voici comment voir cela (sans utiliser directement le calcul fonctionnel continue):

Supposons $a$ auto-adjoint dans un premier temps:
Soit $B$ la $C^*$ algebre engendrée par $a$ et $a^{-1}$. Alors $a$ est encore inversible dans $B$ et on va construire une suite $P_n$ de polynômes telle que $P_n(a)$ tends vers $a^{-1}$, ce qui impliquera bien que $a^{-1}$ est dans la $C^*$-algèbre engendrée par $a$.

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On a introduit $B$ pour se ramener au cas des $C^*$-algèbres commutatives et pouvoir utiliser par exemple la transformation de Gelfand, notée ici $G$, qui est dans ce cas un isomorphisme de $C^*$-algèbre et qui est aussi isométrique, ce qui nous aidera pour montrer la convergence des $P_n(a)$. Ainsi $G$ est un morphisme de $B$ vers $C(X,\mathbb{C})$, l'ensemble des applications continues de $X$ vers $\mathbb{C}$ où $X$ est le spectre de $B$ muni de la topologie faible.

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$a$ est inversible dans $B$ donc son spectre dans $B$ est un compact $K$ de $\mathbb{R}$ qui ne contient pas $0$. Ainsi, $h(x)=\frac{1}{x}$ est une application continue. Par Stone-Weierstrass il existe une suite de polynômes réels $P_n(x)$ qui converge uniformément vers $h$ sur $K$. Alors pour montrer que $P_n(a)$ converge il suffit de montrer que son image par $G$ est une suite de Cauchy dans $C(X,\mathbb{C})$. C'est facile car pour tout caractère $f \in X$, $G(P_n(a))(f)=P_n(f(a))$ et $f(a) \in K$. Ainsi $G(P_n(a))$ converge uniformément donc $P_n(a)$ converge dans $B$. De plus il est facile de vérifier que $P_n(a)$ converge vers $a^{-1}$. Donc le cas $a$ autoadjoint est traité.
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Dans le cas général, on trouve un inverse à $aa^*$ dans la $C^*$-algèbre engendrée par $aa^*$, qui est contenue dans la $C^*$-algèbre engendrée par $a$ et on utilise simplement que $a^{-1}=a^*(aa^*)^{-1}$