Irréductible dans Q ou dans Z ?
Si c'est dans Q, la réponse est immédiate, car s'il avait une racine rationnelle, ton polynôme pourrait se factoriser par un polynôme du premier degré.
Si c'est dans Z, à priori ton énoncé est faux (considérer le polynôme 4X²-1 qui est à coefficient entiers et qui a pour racine 1/4 qui est rationnel). Tu peux simplement dire que si tu poses r=a/b avec a et b premier entre eux et si f(r)=0, alors b divise le coefficient dominant de f et a divise le coefficient constant. En effet, tu écris ton polynômes avec les coefficients tu as une relation du style:
$p_n a^n / b^n + ... +p_1.a/b + p_0 =0$
en multipliant à droite et à gauche par $b^n$ tu obtiens:
$p_n a^n + ... +p_1.a.b^{n-1} + p_0 . b^n = 0 $
et puisque b est premier avec a on voit tout de suite que b divise le coefficient dominant $p_n$. Idem pour a.
A partir de là, on voit tout de suite que si tu supposes ton polynôme unitaire, et s'il a une racine rationnelle, alors b = 1 c'est à dire que sa racine est dans Z.
On a un théorème qui dit que P à coeffs entiers irréductible sur $\Z\Leftrightarrow $ P irréductible sur $\Q$.
Ton exemple ne marche pas toto, car $P=(2x-1)(2x+1)$.
Corentin, l'implication réciproque de ton théorème n'est vraie que si le contenu du polynôme est 1. Par exemple 2X+2 est réductible dans Z mais pas dans Q. Pour l'implication directe (celle qui nous intéresse), no problemo (donc l'exo est résolu), mais je ne parviens plus à la démontrer simplement (bien sûr, l'image d'un idéal premier par inclusion dans une localisation est premier, mais je me rappelle bien qu'il y a une preuve toute bête... impossible de la retrouver, c'est con...).
Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers qui soit irréductible dans $\Q[X]$. Alors s'il avait une racine rationnelle $q$, il serait divisible par $X-q$ donc ne serait plus irréductible (rappelons que le degré est $> 1$).
S'il est irréductible dans $\Z[X]$, alors deux situations :
a/ Il est primitif. Alors on est ramené au premier cas puisqu'alors il est irréductible dans $\Q[X]$.
b/ Il n'est pas primitif. On peut alors l'écrire $c(P)Q$, où $Q$ est primitif. Donc $Q$ est irréductible sur $\Q[X]$ et comme les racines de $P$ sont celles de $Q$, le résultat.
Si $P$ est réductible sur $\Q[X]$ alors $P = \frac{a}{b}.Q.R$ avec $Q$ et $R$ élément primitifs de $\Z[X]$ et $PGCD(a,b) = 1$ . Comme le produit de deux polynômes primitifs est primitif , $b$ divise $a$ et $P$ est réductible dans $\Z[X]$ .
Pour le barbu rasé: oui, j'avais complètement zappé cette condition.
En fait la bonne formulation serait "si un polynome de $\Z[X]$ n'est pas produit de deux polynomes non constants de $\Z[X]$, il est irréductible dans $\Q[X]$".
La preuve n'est pas absolument immédiate, essentiellement, il s'agit d'écrire $P=QR$, puis $aP=Q_1R_1$ avec $Q_1,R_1\in\Z[X],\ a\in\Z$, et montrer que tout diviseur de $P$ se met en facteur dans $Q_1$ ou $R_1$ (par l'absurde).
Réponses
Si c'est dans Q, la réponse est immédiate, car s'il avait une racine rationnelle, ton polynôme pourrait se factoriser par un polynôme du premier degré.
Si c'est dans Z, à priori ton énoncé est faux (considérer le polynôme 4X²-1 qui est à coefficient entiers et qui a pour racine 1/4 qui est rationnel). Tu peux simplement dire que si tu poses r=a/b avec a et b premier entre eux et si f(r)=0, alors b divise le coefficient dominant de f et a divise le coefficient constant. En effet, tu écris ton polynômes avec les coefficients tu as une relation du style:
$p_n a^n / b^n + ... +p_1.a/b + p_0 =0$
en multipliant à droite et à gauche par $b^n$ tu obtiens:
$p_n a^n + ... +p_1.a.b^{n-1} + p_0 . b^n = 0 $
et puisque b est premier avec a on voit tout de suite que b divise le coefficient dominant $p_n$. Idem pour a.
A partir de là, on voit tout de suite que si tu supposes ton polynôme unitaire, et s'il a une racine rationnelle, alors b = 1 c'est à dire que sa racine est dans Z.
P.S: Nous ne voyons pas d'autre explication.
Merci a toi.
Ton exemple ne marche pas toto, car $P=(2x-1)(2x+1)$.
Bon j'ai peut-être dit une connerie je cherche
Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers qui soit irréductible dans $\Q[X]$. Alors s'il avait une racine rationnelle $q$, il serait divisible par $X-q$ donc ne serait plus irréductible (rappelons que le degré est $> 1$).
S'il est irréductible dans $\Z[X]$, alors deux situations :
a/ Il est primitif. Alors on est ramené au premier cas puisqu'alors il est irréductible dans $\Q[X]$.
b/ Il n'est pas primitif. On peut alors l'écrire $c(P)Q$, où $Q$ est primitif. Donc $Q$ est irréductible sur $\Q[X]$ et comme les racines de $P$ sont celles de $Q$, le résultat.
En espérant pas dire trop de bêtises.
Domi
En fait la bonne formulation serait "si un polynome de $\Z[X]$ n'est pas produit de deux polynomes non constants de $\Z[X]$, il est irréductible dans $\Q[X]$".
La preuve n'est pas absolument immédiate, essentiellement, il s'agit d'écrire $P=QR$, puis $aP=Q_1R_1$ avec $Q_1,R_1\in\Z[X],\ a\in\Z$, et montrer que tout diviseur de $P$ se met en facteur dans $Q_1$ ou $R_1$ (par l'absurde).