polynôme irréductible

Irréductible dans Q ou dans Z ?
Si c'est dans Q, la réponse est immédiate, car s'il avait une racine rationnelle, ton polynôme pourrait se factoriser par un polynôme du premier degré.


Si c'est dans Z, à priori ton énoncé est faux (considérer le polynôme 4X²-1 qui est à coefficient entiers et qui a pour racine 1/4 qui est rationnel). Tu peux simplement dire que si tu poses r=a/b avec a et b premier entre eux et si f(r)=0, alors b divise le coefficient dominant de f et a divise le coefficient constant. En effet, tu écris ton polynômes avec les coefficients tu as une relation du style:


$p_n a^n / b^n + ... +p_1.a/b + p_0 =0$

en multipliant à droite et à gauche par $b^n$ tu obtiens:

$p_n a^n + ... +p_1.a.b^{n-1} + p_0 . b^n = 0 $

et puisque b est premier avec a on voit tout de suite que b divise le coefficient dominant $p_n$. Idem pour a.

A partir de là, on voit tout de suite que si tu supposes ton polynôme unitaire, et s'il a une racine rationnelle, alors b = 1 c'est à dire que sa racine est dans Z.

P.S: Nous ne voyons pas d'autre explication.

On a un théorème qui dit que P à coeffs entiers irréductible sur $\Z\Leftrightarrow $ P irréductible sur $\Q$.
Ton exemple ne marche pas toto, car $P=(2x-1)(2x+1)$.

oui corentin je viens de m'en rendre compte.

Pour synthétiser...

Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers qui soit irréductible dans $\Q[X]$. Alors s'il avait une racine rationnelle $q$, il serait divisible par $X-q$ donc ne serait plus irréductible (rappelons que le degré est $> 1$).

S'il est irréductible dans $\Z[X]$, alors deux situations :
a/ Il est primitif. Alors on est ramené au premier cas puisqu'alors il est irréductible dans $\Q[X]$.

b/ Il n'est pas primitif. On peut alors l'écrire $c(P)Q$, où $Q$ est primitif. Donc $Q$ est irréductible sur $\Q[X]$ et comme les racines de $P$ sont celles de $Q$, le résultat.

En espérant pas dire trop de bêtises.

Pour le barbu rasé: oui, j'avais complètement zappé cette condition.
En fait la bonne formulation serait "si un polynome de $\Z[X]$ n'est pas produit de deux polynomes non constants de $\Z[X]$, il est irréductible dans $\Q[X]$".
La preuve n'est pas absolument immédiate, essentiellement, il s'agit d'écrire $P=QR$, puis $aP=Q_1R_1$ avec $Q_1,R_1\in\Z[X],\ a\in\Z$, et montrer que tout diviseur de $P$ se met en facteur dans $Q_1$ ou $R_1$ (par l'absurde).