Extensions de corps
Bonjour,
Une petite question qui me taraude, et que je n'arrive ni à infirmer, ni à confirmer :
Soit $K$, $L$ et $M$ trois corps. Si $K$ est une extension algébrique de $L$, mais aussi de $M$, est-ce une extension algébrique de $L\cap M$ ?
Si quelqu'un a une idée, je le remercie d'avance.
Une petite question qui me taraude, et que je n'arrive ni à infirmer, ni à confirmer :
Soit $K$, $L$ et $M$ trois corps. Si $K$ est une extension algébrique de $L$, mais aussi de $M$, est-ce une extension algébrique de $L\cap M$ ?
Si quelqu'un a une idée, je le remercie d'avance.
Réponses
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C'est une question intéressante...
Je pense qu'il y a des contre-exemples: On prend $K=\Q(T)$ et on définit les sous-corps $L = \Q(T^2)$ et $M = \Q(T^2-T)$. Alors $K$ est algébrique sur $L$ et sur $M$ (de degré $2$). Mais on a $L \cap M = \Q$.
En effet $L$ est l'ensemble des fonctions rationnelles $F \in \Q(T)$ vérifiant $F(-T)=F(T)$, tandis que $M$ est l'ensemble des $F \in \Q(T)$ vérifiant $F(1-T)=F(T)$. (Ce sont les corps fixés par des involutions bien choisies de $K$). Si $F$ appartient à l'intersection $L \cap M$, alors $F(T+1)=F(T)$ et on en déduit que $F$ est constante. -
Et si on rajoute l'hypothèse : $K$ extension algébrique de degré fini de$L$ et de même de $M$ ?
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Tu es sûr d'avoir bien lu le post de fb, Zantac ?
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Dans mon exemple le degré est 2 pour chacune des extensions donc ça marche encore...
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Lol pardon j'avais mal lu...
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C'est pas grave, à ce propos je voudrais citer un théorème très utile, important en théorie de Galois et assez simple à retenir: (Théorème d'Artin)
Si $K$ est un corps et $G$ un groupe fini d'automorphismes de $K$, alors l'extension $K^G \subset K$, où $K^G$ est le sous-corps de $K$ fixé par $G$, est une extension finie, galoisienne, et son groupe de Galois s'identifie à $G$.
En particulier, on peut toujours appliquer cela à une involution, et l'on trouve donc un sous-corps de degré relatif égal à 2. -
Merci fb, ça me soulage d'un poids ;-)
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> son groupe de Galois s'identifie à G.
Pourquoi « s'identifie » ?
C'est G ! -
A priori $G$ est seulement inclus dans le groupe des automorphismes de $K$ sur $K^G$, et il n'est pas évident qu'on ait égalité. C'est en ce sens que j'ai employé l'expression "s'identifie".
Il serait peut-être en effet mieux d'écrire "et son groupe de Galois est égal à $G$".
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Bonjour!
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