Inverse a droite et a gauche

Evariste Galois · May 2006

bonjour,
je suis en train de potasser un vieux cours d'Algebre et je tombe sur ce point :
$A \in M_{n,n}$ admet un inverse a gauche si A admet un inverse a droite.

la question que je me posais est : ai je le droit de dire ceci :

" $A \in M_{n,n}$ admet un inverse a droite si A admet un inverse a gauche" ?

Eva

kilébo · May 2006

Oui, tu as le droit dans les deux sens car nous sommes en dimension finie.

Cela découle du théorème du rang qui a comme corollaire, lé résultat suivant :
Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est bijectif ssi il est surjectif ssi il est injectif.

Comme AB = I => B injectif et A surjectif. Tu arrives à conclure facilement.

Un exemple célèbre de contre exemple en dim. infinie est donnée dans l'e.v. des suites en définissant le morphisme de décallage à gauche : $u \rightarrow v$ avec $v_{n+1} = u_{n}$ et $v_0 = 0$ ou $v_0 = u_0$ et le morphisme de décallage à droite $v_{n} = u_{n+1}$.

Il est facile de voir que l'un est l'inverse à gauche (resp. à droite) de l'autre. Mais aucun de ces morphismes n'est inversible. On peut voir aussi, par cet exemple, qu'il peut exister plusieurs inverses à gauche (ou à droite).

Un résultat général te dit qu'une application est inversible à droite si elle est surjective et inversible à gauche si elle est injective.