Corps locaux

Bonsoir,

Si $K$ est une extension finie de $\Q_{p}$, on note $v_{K}$ la valuation discrète sur $K$, $O_{K}$ l'anneau des entiers, $U(K)$ le groupe des unités, et $\pi$ l'uniformisante de $K$.

Soit $U(k)_{i}=\{x\in U(K), v_{K}(x-1)\geq i\},i\geq 1$.
Il est demandé dans un exo de montrer que $x\in U(K)_{i}$ si et seulement si $x=1+a\pi^{i}$ avec $a\in O_{K}$. Jusque là, ça marche.

Le problème, c'est la question qui suit : on note $e=e(K/\Q_{p})$ ; il s'agit alors de montrer que si $x\in U(K)_{i}$, alors $v_{K}(x^{p})\geq min\{e+i,pi\}$.
Mais voilà, si $x\in U(K)_{i}$, $x$ est inversible dans $O_{K}$, et donc $x^{p}$ aussi : alors, $v_{K}(x^{p})=0$.

Est-ce que c'est moi qui débloque, ou bien il y a un problème dans l'énoncé ?

Je vous remercie d'avance.

Amicalement.
Olivier.