IH algébriquement clos ?
bonjour,
IH est bien entendu le corps des quaternions.
dans aucun des livres d'algèbre, correspondant à mon niveau, que j'ai consultés ce sujet n'est abordé.
la question est-elle ridicule? est-ce oui?, non?, est-ce qu'on ne sait pas?
pour Q, IR, C, IFp , les réponses sont connues ;
je vous remercie de faire reculer mes frontières et ma culture mathématique.
IH est bien entendu le corps des quaternions.
dans aucun des livres d'algèbre, correspondant à mon niveau, que j'ai consultés ce sujet n'est abordé.
la question est-elle ridicule? est-ce oui?, non?, est-ce qu'on ne sait pas?
pour Q, IR, C, IFp , les réponses sont connues ;
je vous remercie de faire reculer mes frontières et ma culture mathématique.
Réponses
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bonjour
les quaternions (inventés par Hamilton mathématicien irlandais du 19ème siècle) constituent une simple variété des matrices carrées 2x2
variété de matrices dont le déterminant détA=N²(A)=(a1)²+(a2)²+(a3)²+(a4)²
avec A=(a1)E1 + (a2)E2 + (a3)E3 + (a4)E4
E1; E2; E3 et E4 étant les matrices carrées unitaires 2x2 de valeurs propres respectives 1 et 1; i et -i
comme les matrices carrées 2x2 les quaternions forment un anneau non-commutatif donc oui les quaternions sont algébriquement clos
cela dit en dehors du déterminant sous forme d'une norme au carré, l'intérêt des quaternions est nul du point de vue algébrique et les matrices carrées 2x2 sont plus simples et plus pratiques
(la représentation des quaternions avec des vecteurs est encore plus lourde qu'avec les matrices)
cordialement -
Je ne comprends pas trop le lien "anneau non-commutatif $\Longrightarrow$ algébriquement clos".
En ce qui conerne les polynômes sur $\mathbb{H}$, il est déjà assez sale de définir un monôme : il est de la forme $a_0Xa_1X\ldots Xa_n$. Mais si on est assez fou pour regarder ces horreurs, alors la réponse est oui, $\mathbb{H}$ est algébriquement clos. J'en ai lu une preuve dans l'ouvrage collectif "les Nombres", et j'ai revu cette démonstration dans un article de la RMS que je daterai d'autour de 2000.
A signaler que la situation est quand même sale : le polynôme $X^2+1$ a déjà au moins 3 racines. -
Bonjour.
Pour renchérir sur ce que dit Le Furet, le polynôme $X^2 + 1$ a une infinité de racines l'ensembles des quaternions unitaires de la forme $ai + bj + ck$ avec $a^2 + b^2 + c^2 = 1$.
Bruno -
"l'interet des quaternions d'un point de vue algebrique est nul"
dixit J.Lismonde. Euh, rassurez-moi, vous blaguez, là?
Joaopa -
bonjour Le Furet
je suppose que cette démonstration dépasse le niveau maîtrise/prépa agreg ?
merci -
Dans mes souvenirs, non. Mais tu risques d'avoir du mal à la trouver. Si je me rappelle bien, il y a un bouquin de Jacobson sur les algèbres/anneaux à division.
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euh je ne veux contredire personne, mais un polynôme sur un corps n'a qu'un nombre fini de racines, inferieur au degré de ce polynôme.
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Ben si tu veux que ce théorème soit vrai, il faut exclure le cas des corps non commutatifs, ce que fait la terminologie française, normalement. Parce que le polynôme X²+1 a bien une infinité de racines dans H.
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Au temps pour moi
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C'est d'ailleurs une des raisons, je pense, qui font que chez les anglo-saxons, les corps non commutatifs sont appelés algèbres (ou anneaux) à division. La commutativité est requise dans les axiomes de corps chez eux.
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Rappelons au passage que tout corps <B>fini</B> est commutatif .
<BR>
<BR>Domi<BR> -
bonjour,
donc le théorème de Wedderburn que rappelle Domi est d'un intérêt moindre chez les Anglo-saxons, vu que tout corps chez eux est commutatif ! -
Chez nous aussi.
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une autre question concernant les quaternions
dans le cadre de la leçon sur les corps finis,après que le candidat ait énoncé ( ou effectué en dèveloppement ) le théorème de Wedderburn, le jury demande s'il connaît un corps non commutatif ; la réponse fuse: le corps des quaternions.
Merci d'indiquer d'autres corps non commutatifs :leur nom et ce à quoi ils ressemblent . -
On peut consulter le livre de Blanchard sur "les corps gauches" ou il y a pas mal d'exemples.
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Je ne connais pas beaucoup d'exemples de corps non-commutatifs. On peut regarder $\Q(i,j,k)$ le sous-corps de $\mathbb{H}$.
Si tu fais une recherche sur le forum, tu verras qu'il y a déjà un post sur le sujet. Il doit y avoir mon mémoire de Maîtrise en pièce jointe sur une des réponses. Tu y trouveras quelques résultats de structure des corps non commutatifs et quelques exemples, dont un corps de dimension 9 sur $\Q$ construit un peu comme les quaternions, en "tordant" une extension de degré 3 de $\Q$. Je crois me rappeler que toute extension non-commutative peut être vue comme ça.
Sinon, le théorème de Frobenius affirme qu'il n'y a pas d'autre surcorps de $\R$ que $\C$ et $\mathbb{H}$.
En dimension infinie, je ne vois pas grand chose non plus. -
Lien du mémoire : http://www.les-mathematiques.net/phorum/download.php/2,1048/TER.pdf
Je ne suis quand même pas sûr que le jury d'agreg attende d'un étudiant de connaître plus que $\mathbb{H}$. -
Bonsoir
Ne peut-on pas construire le corps des fractions rationnelles sur $\mathbb{H}$ ? Le plus petit corps contenant $\mathbb{H}$ et $X$.
Même si les polynômes ne sont pas très beau !
Alain -
<BR>Dans "Algèbre géométrique" d'Artin, il y a un exemple de corps non commutatif, mais j'ai oublié la construction.
<BR>
<BR>Watercat<BR> -
bonjour merci à tous pour vos explications et références.
merci particulier à Le Furet pour ses conseils avisés; -
Je signale quand même que sur A[X] avec A anneau NON commutatif, la variable X commute avec les scalaires....les polynômes n'ont donc rien d'horrible.
lolo -
Bonjour chers amis,
il semblerait décidément que les quaternions soient pour le moins impopulaires. Et pourtant je reste convaincu (à tort ou à raison, mais Priestley est bien mort phlogisticien...:-)) que leur étude est essentielle à la compréhension de notre espace-temps. Quelqu'un sur ce site m'avait parlé d'une thèse sur des variétés modelées sur les quaternions, alors je persiste et signe (têtu mais fidèle à mes valeurs propres): on pourrait étudier le comportement d'une généralisation de la fonction $\zeta$ de Riemann sur de telles variétés. Si jamais vous connaissez des gens qui travaillent là-dessus (et qui seraient prêts à perdre leur temps avec un physicien comme moi...), je suis preneur. Merci à tous et bonne journée !
Cordialement,
Sylvain
Sylvain -
Salut à tous!
Si je peux me permettre de donner mon point de vue sur les extensions algébriques, il me semble que dire d'un corps non commutatif qu'il est algébriquement clos ou non n'a pas de sens.
En effet, la théorie des équations algébriques ne traitent que des corps commutatifs.
Je me souviens lors de la leçon sur "Corps finis" pour la prépa agreg avoir déclaré comme si j'avais fait une trouvaille que la clôture algébrique de F(p) (corps fini) est commutative... L'enseignant en charge de la leçon avait alors sursauté en me disant : "Mais... C'est évident! On n'a pas de construction de théorie des équations algébriques dans des corps non commutatifs. En tout cas, je ne la connais pas..."
Bon, je tente un prolongement: On dérive des fonctions de variables réelles, ou même complexes... Peut-on trouver une théorie des fonctions de variables quaternioniques? -
Il me semble bien que les quaternions servent en informatique et plus particulierement dans la conception des jeux videos:
en effet, SU(2)/{id,-id}~SO(3) , on s'en sert pour faire tourner les personnages car il suffit de simples multiplication de quaternions...
Enfin, si j'ai compris ce qu'on m'a raconté un jour... -
Re-salut!
Très juste Pitchou! Plus précisément, tu peux calculer des produits de rotations par des multiplications dans SU(2)/{+Id;-Id}, donc finalement dans la sphère S3 des quaternions. On avait fait ça dans un cours de préparation à l'écrit de maths générales pour l'agreg.
Pour plus de précisions, on peut consulter Perrin "Cours d'algèbre". -
Re-salut!
Très juste Pitchou! Plus précisément, tu peux calculer des produits de rotations par des multiplications dans SU(2)/{+Id;-Id}, donc finalement dans la sphère S3 des quaternions. On avait fait ça dans un cours de préparation à l'écrit de maths générales pour l'agreg.
Pour plus de précisions, on peut consulter Perrin "Cours d'algèbre". -
Pour les resultats de bases sur les quaternions, il y a aussi le livre de Romain Vidonne " Groupe circulaire , rotations et quaternions"
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Bonjour!
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