matrice diagonale et nilpotente

Jérémy13 · May 2006

Bonjour,
je suis étudiant en deuxième année de licence de mathématiques et j'ai mon partiel la semaine prochaine donc je suis en plein dans les révisions. Mais j'ai quelques questions à vous poser.

D'abord, si on soustrait à n'importe quelle matrice une matrice diagonale qui contient toutes ses valeurs propres, est ce que l'on obtient une matrice nilpotente et commutative avec la matrice diagonale?

Ensuite, nous avons appris la décomposition de Jordan et nous l'avons démontré. Seulement en exercice, j'arrive à trouver la matrice diagonale en utilisant des projecteurs spectraux, mais je n'arrive pas à avoir sa forme nilpotente (version réduite par Jordan). Quelqu'un aurait-il une méthode?

Enfin, sur un exercice on me demande de calculer le polynôme minimal dans les réels dont le polynôme caractéristique est de la forme (x²+ h²) ou h est un réel. Je suis d'accord que le polynôme n'est pas scindé, donc je ne peux ni diagonaliser la matrice, ni la triangulariser. Ne peut on réellement pas réduire une matrice qui contient un tel polynôme?

Merci d'avance

Cordialement

bosio frederic0 · May 2006

D'abord, il n'existe qu'une matrice diagonalisable $D$ telle que $M-D$ soit nilpotente et commute avec $M$. Donc, on ne peut pas choisir au hasard une matrice diagonale avec les bonnes valeurs propres pour que ca marche.

Ensuite, pour avoir la matrice nilpotente dans Jordan, il suffit de faire la difference entre la matrice et la matrice diagonalisable correspondante.

Enfin, si une matrice a, sur $\Bbb R $, le polynome caracteristique $X^2 + h^2 $, alors l'endomorphisme associe a cette matrice est simple, c'est-a-dire qu'aucun sous-espace non trivial de $\Bbb R ^2 $ n'est stable par cette matrice. Il semble alors difficile de la reduire.

jp · May 2006

Bonjour,

pour ta première question :
Je pense qu'on peut déomposer toute matrice $A$ dont le polynome est scindé en une somme $D+N$ ou $D$ est diagonalisable (avec les valeurs propres sur la diagonale) et $N$ nilpotente, mais la commutativité n'est assurée que s'il n'y a qu'une unique valeur propre.

Pour le reste, je laisse la parole aux pus savants que moi...

Cordialement.

Jérémy13 · May 2006

Merci pour l'intéret que vous apportez à mon problème.

Mais j'ai encore deux questions.

D'abord, vous dites qu'il existe qu'une matrice diagonale D telle que M - D soit nilpotente et commute. Comment choisir la position des valeurs propres dans la matrice diagonale?

Ensuite, vous dites que la matrice nilpotente dans Jordan et la soustraction de la matrice de départ avec la matrice diagonale. Je suis d'accord, mais il y a quand même un changement de base à faire, et pour pouvoir le faire, il faut bien que l'on sache sous quelle forme doit être la matrice nilpotente. A moins qu'il existe une autre méthode?

Candide · May 2006

Diagonalisable ne signifie pas diagonale...

matrice diagonale et nilpotente

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Bonjour!

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