Bonjour, lors de la résolution d'un problème intitulé endomorphisme antisymétrique, il y a une question que je n'arrive pas à répondre, voici l'énoncé :
Le rang d'un endomorphisme antisymétrique est pair.
Merci d'avance
On se ramene a montrer que si $E$ est un $\mathbb{R}$-ev muni d'un produit scalaire, et si $f$ est un endomorphisme antisymetrique de $E$ inversible alors dim $E$ est paire.
Mais comme $=0$pour tout $x$, $f$ n'a pas de valeurs propres (une valeur propre serait automatiquement nulle) donc son polynome caracteristique est de degre pair.
Réponses
Et un endomorphisme anti-symétrique a pour matrice, une matrice anti-symétrique.
Sauf erreur...
On se ramene a montrer que si $E$ est un $\mathbb{R}$-ev muni d'un produit scalaire, et si $f$ est un endomorphisme antisymetrique de $E$ inversible alors dim $E$ est paire.
Mais comme $=0$pour tout $x$, $f$ n'a pas de valeurs propres (une valeur propre serait automatiquement nulle) donc son polynome caracteristique est de degre pair.