groupe

Salut,

intuitivement je dirais:

1) Non (groupe de Klein = $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$) et Oui (là je suis pas sûr)

2) Oui (un théorème du genre "reconstruction du groupe par les classes à gauche bla-bal-bla)

amicalement,

F.D.

salut,

je venais corriger mon erreur... pardon

F.D.

$G$ est un sous-groupe de $G$

Bonjouur Niz

Comme il a déjà été dit plus haut, les réponses sont NON partout.
Pour s'en convaincre il suffit de considérer les contrexemples :

$\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ n'est pas cyclique, pourtant tous ses sous-groupes propres sont cycliques ($\simeq \Z/2\Z$) ou trivial.

$\frak{S}_3$ le groupe des permutations de 3 éléments, qui a 6 éléments, a pour sous-groupes propres (non trivial) :
$\bullet\quad \{id,(123)(132)\}\simeq \Z/3\Z$
$\bullet\quad \{id,(12)\} \simeq \Z/2\Z$
$\bullet\quad \{id,(13)\} \simeq \Z/2\Z$
$\bullet\quad \{id,(23)\} \simeq \Z/2\Z$
qui sont tous cycliques et pourtant $\frak{S}_3$ n'est pas abélien (donc pas cyclique)
en effet : $(12)(123)=(23)\neq (123)(12)=(13)$

$Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\},\textrm{\ avec\ }i²=j²=k²=-1,\ ij=-k,\ jk=-i,\ ki=-j$ le groupe des quaternions à 8 éléments.
Ses sous-groupes propres (non trivial) sont :
$\bullet\quad \{1,-1\} \simeq \Z/2\Z$ c'est le centre et le sous-groupe dérivé, donc il est distingué dans $Q$.
$\bullet\quad \{1,i, -1,-i\} \simeq \Z/4\Z$ cyclique distingué car d'indice 2 dans $Q$
$\bullet\quad \{1,j, -1,-j\} \simeq \Z/4\Z$ cyclique distingué car d'indice 2 dans $Q$
$\bullet\quad \{1,k, -1,-k\} \simeq \Z/4\Z$ cyclique distingué car d'indice 2 dans $Q$
Ils sont tous cycliques, distingués, et pourtant $Q$ n'est ni cyclique, ni abélien ($ij=-k \neq ji=k$)

Alain