1) Soit G un groupe dont tous les sous groupes sont cycliques. G est-il cyclique ? abélien ?
2) Soit G un groupe dont tous les sous groupes sont distingués. G est-il abelien.
Soit $p$ un nombre premier. On note $U_k$ l'ensemble des racines
$p^k$-ièmes de l'unité dans $\C$. C'est un groupe cyclique et
pour $k\le l$, on a $U_k\subset U_l$. On pose $U_\infty=\cup_{k\ge 0}U_k$
et on vérifie facilement que c'est un groupe. Pour $z\in U_\infty$, on
note $v(z)=\inf\{k\mid z\in U_k\}$ ; la signification de $v(z)$ est que
$z$ est racine primitive d'ordre $p^{v(z)}$ de l'unité.
Soit $G$ un sous-groupe ; on considère $\{v(z)\mid z\in G\}$.
Si cet ensemble est non borné, $G=U_\infty$ et s'il est borné de
maximum $k$, alors $G=U_k$.
Autrement dit, $U_\infty$ est infini et tous ses sous-groupes propres
sont finis et cycliques.
Comme il a déjà été dit plus haut, les réponses sont NON partout.
Pour s'en convaincre il suffit de considérer les contrexemples :
$\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ n'est pas cyclique, pourtant tous ses sous-groupes propres sont cycliques ($\simeq \Z/2\Z$) ou trivial.
$\frak{S}_3$ le groupe des permutations de 3 éléments, qui a 6 éléments, a pour sous-groupes propres (non trivial) :
$\bullet\quad \{id,(123)(132)\}\simeq \Z/3\Z$
$\bullet\quad \{id,(12)\} \simeq \Z/2\Z$
$\bullet\quad \{id,(13)\} \simeq \Z/2\Z$
$\bullet\quad \{id,(23)\} \simeq \Z/2\Z$
qui sont tous cycliques et pourtant $\frak{S}_3$ n'est pas abélien (donc pas cyclique)
en effet : $(12)(123)=(23)\neq (123)(12)=(13)$
$Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\},\textrm{\ avec\ }i²=j²=k²=-1,\ ij=-k,\ jk=-i,\ ki=-j$ le groupe des quaternions à 8 éléments.
Ses sous-groupes propres (non trivial) sont :
$\bullet\quad \{1,-1\} \simeq \Z/2\Z$ c'est le centre et le sous-groupe dérivé, donc il est distingué dans $Q$.
$\bullet\quad \{1,i, -1,-i\} \simeq \Z/4\Z$ cyclique distingué car d'indice 2 dans $Q$
$\bullet\quad \{1,j, -1,-j\} \simeq \Z/4\Z$ cyclique distingué car d'indice 2 dans $Q$
$\bullet\quad \{1,k, -1,-k\} \simeq \Z/4\Z$ cyclique distingué car d'indice 2 dans $Q$
Ils sont tous cycliques, distingués, et pourtant $Q$ n'est ni cyclique, ni abélien ($ij=-k \neq ji=k$)
Réponses
intuitivement je dirais:
1) Non (groupe de Klein = $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$) et Oui (là je suis pas sûr)
2) Oui (un théorème du genre "reconstruction du groupe par les classes à gauche bla-bal-bla)
amicalement,
F.D.
pour le 2) c'est non il suffit de regarder le groupe quaternionique Q8 ( le cardinal de son centre vaut 2 )
je venais corriger mon erreur... pardon
F.D.
$p^k$-ièmes de l'unité dans $\C$. C'est un groupe cyclique et
pour $k\le l$, on a $U_k\subset U_l$. On pose $U_\infty=\cup_{k\ge 0}U_k$
et on vérifie facilement que c'est un groupe. Pour $z\in U_\infty$, on
note $v(z)=\inf\{k\mid z\in U_k\}$ ; la signification de $v(z)$ est que
$z$ est racine primitive d'ordre $p^{v(z)}$ de l'unité.
Soit $G$ un sous-groupe ; on considère $\{v(z)\mid z\in G\}$.
Si cet ensemble est non borné, $G=U_\infty$ et s'il est borné de
maximum $k$, alors $G=U_k$.
Autrement dit, $U_\infty$ est infini et tous ses sous-groupes propres
sont finis et cycliques.
Comme il a déjà été dit plus haut, les réponses sont NON partout.
Pour s'en convaincre il suffit de considérer les contrexemples :
$\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ n'est pas cyclique, pourtant tous ses sous-groupes propres sont cycliques ($\simeq \Z/2\Z$) ou trivial.
$\frak{S}_3$ le groupe des permutations de 3 éléments, qui a 6 éléments, a pour sous-groupes propres (non trivial) :
$\bullet\quad \{id,(123)(132)\}\simeq \Z/3\Z$
$\bullet\quad \{id,(12)\} \simeq \Z/2\Z$
$\bullet\quad \{id,(13)\} \simeq \Z/2\Z$
$\bullet\quad \{id,(23)\} \simeq \Z/2\Z$
qui sont tous cycliques et pourtant $\frak{S}_3$ n'est pas abélien (donc pas cyclique)
en effet : $(12)(123)=(23)\neq (123)(12)=(13)$
$Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\},\textrm{\ avec\ }i²=j²=k²=-1,\ ij=-k,\ jk=-i,\ ki=-j$ le groupe des quaternions à 8 éléments.
Ses sous-groupes propres (non trivial) sont :
$\bullet\quad \{1,-1\} \simeq \Z/2\Z$ c'est le centre et le sous-groupe dérivé, donc il est distingué dans $Q$.
$\bullet\quad \{1,i, -1,-i\} \simeq \Z/4\Z$ cyclique distingué car d'indice 2 dans $Q$
$\bullet\quad \{1,j, -1,-j\} \simeq \Z/4\Z$ cyclique distingué car d'indice 2 dans $Q$
$\bullet\quad \{1,k, -1,-k\} \simeq \Z/4\Z$ cyclique distingué car d'indice 2 dans $Q$
Ils sont tous cycliques, distingués, et pourtant $Q$ n'est ni cyclique, ni abélien ($ij=-k \neq ji=k$)
Alain