existence de supplémentaire d'un sev

Titre initial : Démonstration de l'existence d'un supplémentaire d'un sous-espace vectoriel

Bonjour.
J'ai une question à propos de votre démonstration de l'existence d'un
supplémentaire d'un sous-espace vectoriel : je cite

Démonstration Considérons l'ensemble A des sous espaces vectoriels de
E contenant W1 et contenus dans W2. A n'est pas vide car W1 est
élément de A. A est partiellement ordonné par la relation ``être inclu
dans ou être égal à'':. Considérons une partie totalement ordonné de
A. Considérons ensuite la réunion des éléments de cette partie et
notons la U. Comme la partie est totalement ordonnée, cette réunion
est encore un sous espace vectoriel de E qui contient W1 et qui est
contenu dans W2. Cette réunion a comme seul élément commun avec V le
vecteur nul de E. U est de plus un majorant de cette partie pour la
relation d'ordre donné par l'inclusion. A est donc un ensemble
inductif. Appliquons le lemme de Zorn. Il existe un élément maximal
pour A.

Mon problème ---> Pour que A soit inductif, il faut montrer que la partie totalement
ordonnée de A possède un majorant. C'est U
Mais à quoi sert la phrase " Cette réunion a comme seul élément commun
avec V le vecteur nul de E " ? Et surtout n'est elle pas fausse ?

Merci d'avance.

[Benjamin & François, à vous deux, evitez les titres trop longs ! Vous avez tout le corps du message pour détailler. AD]