(p,q)=1 implique (p^n,q^n)=1 ,n entier plus grand ou égal à 2.
Si l'on procéde par l'absurde en supposant que (p^n,q^n)=r ,r premier , est simple.
Mais comment procéder pour le cas ou r est non premier et différent de 1 ?
Il n'est pas difficile de montrer que $a$ premier avec $b$ et avec $c$ implique $a$ premier avec $bc$ (petit coup de Bezout).
Avec $a=p$, et $b=c=q$, on en déduit que $p$ est premier avec $q^2$, puis par récurrence avec $q^n$.
Ensuite, vu que $q^n$ est premier avec $p$, il est, de même, premier avec $p^2$, puis, par récurrence avec $p^m$ pour tout $m$.
si je ne dis pas de betises, l'existence du PGCD suppose l'existence d'une division euclidienne, donc en particulier tu travailles dans un anneau euclidien, donc factoriel (<=> existence et unicite de la factorisation en elements irreductibles)
tu peux donc affirmer que PGCD(a,b)=1 <=> a et b n'ont pas de facteur commun, donc il en est de meme pour a^n et b^n (au passage la reciproque est encore vraie)
(au passage j'ai du mal a saisir l'interet de raisonner par l'absurde)
Poser ta question clairement t'assurerait certainement une réponse précise.
Si $r$ est premier et que $p$, $q$ et $n \geq 1$ sont des entiers tels que $p^n \wedge q^n = r$ alors $p \wedge q = r$. En effet Bezout nous assure que le pgcd divise $r$, et s'il valait $1$ on aurait $p \wedge q = 1$.
De la même manière, si $p^n \wedge q^n = 1$ alors $p \wedge q = 1$.
En revanche, si $r$ est un entier quelconque, $p^n \wedge q^n = r$ implique que le pgcd de $p$ et $q$ divise $r$ et rien d'autre. Pour $p=6$ et $q=10$, $n=2$ par exemple, on a $p^n \wedge q^n = 4$ et $p \wedge q = 2$.
Pour compléter tout ce qui a été dit ci-dessus, il me semble important de connaître la propriété $\gcd(a^n,b^n) = \left ( \gcd(a,b) \right)^n$ (preuve : utiliser les décompositions en facteurs premiers, par exemple).
En effet Borde, j'étais à la rue une fois de plus.
Si le pgcd de p^n et q^n est un nombre premier r, alors le pgcd de p et q est également nécessairement r, donc (et il est fort fâcheux que je n'ai pas conclu tout à l'heure) r=r^n, d'où n=1.
En d'autres termes l'hypothèse est impossible pour n>=2 (cadre donné dans la question originelle).
Réponses
Avec $a=p$, et $b=c=q$, on en déduit que $p$ est premier avec $q^2$, puis par récurrence avec $q^n$.
Ensuite, vu que $q^n$ est premier avec $p$, il est, de même, premier avec $p^2$, puis, par récurrence avec $p^m$ pour tout $m$.
tu peux donc affirmer que PGCD(a,b)=1 <=> a et b n'ont pas de facteur commun, donc il en est de meme pour a^n et b^n (au passage la reciproque est encore vraie)
(au passage j'ai du mal a saisir l'interet de raisonner par l'absurde)
Si $r$ est premier et que $p$, $q$ et $n \geq 1$ sont des entiers tels que $p^n \wedge q^n = r$ alors $p \wedge q = r$. En effet Bezout nous assure que le pgcd divise $r$, et s'il valait $1$ on aurait $p \wedge q = 1$.
De la même manière, si $p^n \wedge q^n = 1$ alors $p \wedge q = 1$.
En revanche, si $r$ est un entier quelconque, $p^n \wedge q^n = r$ implique que le pgcd de $p$ et $q$ divise $r$ et rien d'autre. Pour $p=6$ et $q=10$, $n=2$ par exemple, on a $p^n \wedge q^n = 4$ et $p \wedge q = 2$.
Non ?
Borde.
Si le pgcd de p^n et q^n est un nombre premier r, alors le pgcd de p et q est également nécessairement r, donc (et il est fort fâcheux que je n'ai pas conclu tout à l'heure) r=r^n, d'où n=1.
En d'autres termes l'hypothèse est impossible pour n>=2 (cadre donné dans la question originelle).