déterminant

gin · May 2006

bonjour, j'aimerais calculer le déterminant de A où :

<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay">A = <IMG WIDTH="137" HEIGHT="131" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/26/88719/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \begin{pmatrix}a & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\newline 1 & a & 1 & 1 & 1 \......ne 1 & 1 & 1 & a & 1 \\
\newline 1 & 1 & 1 & 1 & a \\
\newline \end{pmatrix} $"></DIV><P></P>
J'ai pensé ajouter les 4 dernières lignes à la première mais après je ne vois pas ce qu'il faut faire.
<BR>
<BR>Merci d'avance.<BR>

Tsss · May 2006

Un moyen assez pratique est de remarquer que ta matrice est diagonalisable, de chercher ses valeurs propres.
Regarde la matrice A-(a-1)I.

Argo0 · May 2006

salut , tu fais L1 + L2 + L3 + L4 +5 -> L1 puis après tu sort le 4+a, tu auras alors une première ligne avec que des 1 que tu soustrait aux quatres autres, tu a alors une matrice tringulaire inférieur dont le déterminant est égal au produit des termes sur la diagonale c'est à dire (a-1)^4 finalement detA = (4+a)(a-1)^4

Pitchou1 · May 2006

ou alors considere la matrice M ne contenant que des 1 et pense que det A=P(-a) où P est le polynome caracteristque de M

-Omar- · May 2006

Bonjour,

Plus généralement, pour une matrice d'ordre $n$, on voit facilement que $a-1$ est valeur propre
, avec pour sous-espace propre
l'hyperplan $x_1+\cdots x_n=0$ de dimension $n-1$. La matrice, symétrique
réelle est diagonalisable avec $a-1$ pour valeur propre d'ordre $n-1$.
Si $y$ est l'autre valeur propre, la trace donne $(n-1)(a-1)+y=na$ d'où
$y=a+n-1$. Le déterminant de $A$ est ainsi
$(a-1)^{n-1}(a+n-1)$ (produit des valeurs propres). Le polynôme caractéristique de $A$ est
$P(X)=(-1)^n(X-a+1)^{n-1}(X-a-n+1)$.

Amicalement
Omar

Bruno · May 2006

Bonjour.

Encore une autre méthode : tu es en présence d'une matrice circulante, c'est à dire que chaque ligne se déduit de la précédente par décalage vers la droite. Il y a alors une méthode propre à ce genre de matrice ; on sait que le déterminant d'une matrice est, à un facteur $(-1)^{n-1}$ près le produit des valeurs propres de la matrice, il suffit donc de déterminer ces dernières.

Posant :$$T_5 = \begin{pmatrix}0 &1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 &0 &0\end{pmatrix}$$tu constates que ta matrice $A$ vérifie :$$A = T^4 + T^3 + T^2 + T + a\,I_4 = P(T).$$On peut alors appliquer le théorème sur les vecteurs et valeurs propres des polynômes d'endomorphismes : la matrice $T$ a pour valeurs propres les cinq racines cinquièmes de $1$, donc :$$\det(A) = -\prod_{k=0}^4P\left(e^{\frac{2ik\pi}5}\right).$$Comme ce déterminant est un polynôme de degré $5$ en $a$, par cette méthode tu disposes d'une décomposition de ce polynôme en polynômes irréductibles sur $\C$ ou sur $\R$.

Bruno

Sauf erreur de calcul, bien sûr :-(

gin · May 2006

En fait je n'ai pas encore vu la notion de valeurs propres (qui a l'air assez pratique), c'est pourquoi, je vais opter pour la solution de Argo, le seul problème est lorsqu'il parle de sortir le 4+a, je ne vois pas comment car pour moi, on ne peut pas le mettre en facteur, car ça change le déterminant.

En effet, j'ai essayé avec maple pour une matrice simple et ça ne marche pas. La seule chose qui marche est det(a.A)=a.det(A) (là on a pu sortir a car il multiplie toute la matrice et pas seulement une ligne).

Voilà, merci de m'expliquer mon incompréhension.

Argo0 · May 2006

en faite le determinant est une forme n-linéaire donc si tu as une ligne ou une colonne qui est multipliée par a alors tu peux "sortir" le a mais par contre si tu as toute ta matrice multipliée par a tu as
det(aA) = a^n * det(A) ou n est la taille de ta matrice
car tu sors n fois le a pour chaque colonne !

bisam · May 2006

Le déterminant est une fonction n-linéaire donc lorsque tu peux factoriser une ligne (ou une colonne) par a, c'est tout le déterminant qui est factorisé par a.
Par conséquent la vraie formule est det(a.A)=a^n.det(A) où n est le nombre de lignes et de colonnes.

gin · May 2006

ok, merci, en fait si j'ai bien compris pour "sortir" le 4+a de la premiere ligne, j'utilise la linéarité du det par rapport a la premiere ligne?

gin · May 2006

Autre petite question, comment pourrai-je montrer que det(B)=(b-a)^3(a+b-2x)(a+b+2x), où

<BLOCKQUOTE><BR></BLOCKQUOTE><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay">B = <IMG WIDTH="120" HEIGHT="112" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/28/88856/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \newline \begin{pmatrix}
\newline x & a & b & x \\
\newline a & ......e b & x & x & a \\
\newline x & b & a & x \\
\newline \end{pmatrix}
\newline $"></DIV><P></P>
Merci d'avance pour votre aide.<BR>

Evariste Galois · May 2006

Tu sommes les 4 colonnes que tu rentres en colonne 1,
et tu sors le facteur a+b+2x.
Après il faut travailler sur les colonnes ou lignes.

Evariste Galois · May 2006

oups dsl j'ai pas mis la fin
Apres tu fais disparaitre tout les 1 de la premiere colonne (en faisant l'operation sur les L suivant L1-Li $\forall i \in \{2,3,4\}$)
tu obtiens la matrice suivante
$
\begin{pmatrix}
1 & a & b & x \\
0 & a-x & b-x & x-b \\
0 & a-x & b-x & x-a \\
0 & a-b & b-a & 0 \\
\end{pmatrix}
$

donc $det(B)=(2x+a+b)(b-a)det\begin{pmatrix}
1 & a & b & x \\
0 & a-x & b-x & x-b \\
0 & a-x & b-x & x-a \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$
après la suite est facile... enfin il me semble

Eva

gin · May 2006

Je vous remercie vraiment de m'avoir répondu, mais je suis désolé la suite n'est vraiment pas évidente pour moi, je débute juste dans le déterminant et je vous avoue que j'ai un peu de mal.

Merci de votre aide qui m'est précieuse.

ryo · May 2006

a partir de ce que tas fait Galois tu developpes par rapport a la premiere colonne.
Tu vas tomber sur un determinant 3*3 qu'il faudra encore developper (par rapport a la derniere ligne ca me parait le mieux) et le tour est joue

Pour savoir par rapport a quoi tu dois developper ou si tu dois sortir une astuce (dailleurs les techniques utilisees ici :sommer toutes les lignes dans une seule puis mettre en facteur en utilisant la n_linearite du determinant, sont vraiment a connaitre), si rien ne te vient tu developpes betement et si ton resultat est vraiment immonde tu repars du debut en cherchant une astuce.
Une autre technique sur une matrice n*n est par exemple de developper par rapport a une ligne ou une colone puis de s'apercevoir qu'on retombe sur quasiment la meme matrice mais en (n-1)*(n-1) et la on conclut en iterant une ou deux fois puis en devinant la forme generale (vaut mieux un exemple qu'un long discours mais la j'ai pas tellement d'exemple a te proposer)

gin · May 2006

ok, mais en fait j'aurai aimé le faire sans developper car c'est un peu la solution de facilité (ca marche tout le temps, mais c'est long), je voudrai trouver juste en faisant des opérations sur lignes et colonnes.

si quelqu'un voit comment faire merci d'avance.

Bruno · May 2006

Il y a une astuce fondée sur la méthode que j'ai donnée. Tu vas pêcher sans le dire les valeurs propres de la matrice $T_5$ (voir ma première réponse). Ces valeurs propres sont $\big(1,exp(2i\pi/5),exp(4i\pi/5),exp(6i\pi/5),exp(8i\pi/5)\big)$. Soit $c$ l'une quelconque de ces valeurs, si tu substitues la combinaison :$$c^0\,L_1 + c^1\,L_2 + c^2\,L_3 + c^3\,L_4 + c^4\,L_5$$la première ligne du déterminant s'écrit :$$L'_1 = (a + c^2 + c^3 + c^4,1 + c\,a + c^2 + c^3 + c^4,...,1 + c + c^2 + c^3 + c^4\,a)$$or d'après les propriétés des racines de l'unité, on a:$$\begin{array}{rcl}
1 + c\,a + c^2 + c^3 + c^4 &= &c\,(c^4 + a + c + c^2 + c^3) \\
\cdots &= &\cdots \\
1 + c + c^2 + c^3 + c^4\,a &= &c^4(c + c^2 + c^3 + c^4 + a)\end{array}$$bref, le déterminant est divisible par les facteurs :$$a + c + c^2 + c^3 + c^4$$où $c$ décrit l'ensemble des racines cinquièmes de l'unité. En fait on retrouve grâce à un choix apparemment astucieux des coefficients de combinaison la forme que j'avais donnée sans faire appel à la théorie des valeurs propres.

Bruno

Bruno · May 2006

Remarque, même si tu ne connais pas la théorie des valeurs propres, il suffit de savoir que $T_n$ a pour valeurs propres les racines $n$-èmes de l'unité.

Bruno

gin · May 2006

D'accord j'ai compris, merci beaucoup Bruno.

Ps: je suis pressé de voir la théorie des valeurs propres qui a l'ai assez praique pour caluler les determinants.

merci encore.

gin.

Evariste Galois · May 2006

après tu peux remarquer Gin que tu as :
$det(B)=(2x+a+b)(b-a)det\begin{pmatrix}
1 & a & b & x \\
0 & a-x & b-x & x-b \\
0 & a-x & b-x & x-a \\
0 & -1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$
c'est la meme chose que $det(B)=(2x+a+b)(b-a)det\begin{pmatrix}
1 & a+b & b & x \\
0 & a+b-2x & b-x & x-b \\
0 & a+b-2x & b-x & x-a \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$
et comme disait Ryo apres tu developpes le det par la premiere colonne puis apres la derniere ligne, et apres tu as un determinant d'une matrice 2x2

$det(B)=(2x+a+b)(b-a)det\begin{pmatrix}
a+b-2x & x-b \\
a+b-2x & x-a
\end{pmatrix}$
et de la tu en déduis que $det(B)=(2x+a+b)(b-a)( a+b-2x)(x-a-x+b)$

Eva

egoroff · May 2006

Eva : pourquoi t'arrêter à : $\det B=(2x+a+b)(b-a) det\begin{pmatrix}
1 & a+b & b & x \\
0 & a+b-2x & b-x & x-b \\
0 & a+b-2x & b-x & x-a \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$ ?

On soustrait la seconde ligne à la première : $\det B=(2x+a+b)(b-a) \det \begin{pmatrix}
1 & a+b & b & x \\
0 & a+b-2x & b-x & x-b \\
0 & 0 & 0 & b-a \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$

Puis on échange les deux dernières colonnes ce qui "sort" un signe moins vu le caractère antisymétrique du déterminant : $\det B =-(2x+a+b)(b-a) \det \begin{pmatrix}
1 & a+b & x & b \\
0 & a+b-2x & x-b & b-x \\
0 & 0 & b-a & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

On se retrouve avec une matrice triangulaire supérieure dont on sait que le déterminant est égal au produit des coefficients diagonaux, d'où $\det B = (b-a)^2 (4x^2 - (a+b)^2)$.

Evariste Galois · May 2006

a oui bien vu ergoff !!!

je m'arretai au determinant d'une matrice 2x2 car je trouvai çà facile a calculer mais ta méthode est bien mieux y a pas de calcul.
En plus je suis rassuré tu trouve comme moi (b-a)² et non (b-a)^3 comme Gin le prétendait.

egoroff · May 2006

Ben moi qui ai toujours été nul en calcul de déterminant ça me fait chaud au coeur d'avoir dit quelque chose d'intelligent :-)

Le $(b-a)^3$ était exclu par homogénéité de toute façon (si $a,b,x$ sont des longueurs alors le déterminant est une longueur à la puissance 4 et la formule proposée par gin donne une longueur à la puissance 5).

déterminant

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