Forme quadratique
Bonjour,
J'ai un pb de compréhension sur un énoncé : " montrer que la forme quadratique q possède un vecteur propre".
Pour un endomorphisme, je comprends cette notion de vecteur propre. Par contre, q(u) est un scalaire et donc q(u) = au n'a aucun sens.
Merci beaucoup à ceux qui me répondront.
A+
J'ai un pb de compréhension sur un énoncé : " montrer que la forme quadratique q possède un vecteur propre".
Pour un endomorphisme, je comprends cette notion de vecteur propre. Par contre, q(u) est un scalaire et donc q(u) = au n'a aucun sens.
Merci beaucoup à ceux qui me répondront.
A+
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Réponses
<BR>Si u est un vecteur de Rn alors
<BR>q(u)=u'Au
<BR>où A est une matrice de dimension n*n.
<BR>La question correspond à la matrice A associée à q().<BR>
\begin{itemize}
\item Une forme quadratique $q$ n'a pas {\bf une} matrice mais elle possède {\bf plusieurs} matrices relativement à une {\bf même base}.
\item Pour chaque base, elle admet {\bf une seule matrice symétrique} : la matrice de la forme polaire de $q$. Toute autre matrice se déduit de celle-ci en lui ajoutant une matrice antisymétrique.
\end{itemize}
Je n'ai malheureusement pas de réponse à la question de Xavier.
Ce que l'on sait, c'est que toute forme quadratique admet des bases orthogonales (en caractéristique différente de deux) et que, bien entendu, pour une telle base la matrice associée à la forme polaire est diagonale.
Bref, Xavier, j'ai le même problème de compréhension que toi, pourrais-tu préciser le contexte de ton exercice ainsi que la forme quadratique ?
Bruno
ca donnerait comme interpretation $q(u)=\lambda.$, ce qui correspondrait a l'interpretation de d19
apres je ne vois pas non plus ce que ca pourrait vouloir dire d'autre...
Merci tout d'abord pour vos réponses.
L'enonce de l'exercice est le suivant:
Soit q une forme quadratique dans un espace vectoriel reel de dimension n.
1) montrer que sa forme polaire f est un produit scalaire si/si sa signature est égale à (n,0)
2) montrer que q possède un vecteur propre non si/si sa signature est differente de (n,0) et de (0,n).
A+
Je pense, d'après la caractérisation qu'il s'agit de "vecteur isotrope non nul".
Bruno
peux tu préciser??
merci
geoffrey
Soit $q$ une forme quadratique, $\phi$ sa forme polaire et $\psi$ une forme bilinéaire alternée quelconque, alors $\phi + \psi$ est une forme bilinéaire dont la forme diagonale est également $q$. Relativement à une même base, les formes $\phi$ et $\phi + \psi$ ont des matrices différentes.
Concrètement, soit l'espace vectoriel $\R^2$, soit $q(x,y) = x^2 + y^2$ la forme quadratique canonique. La forme polaire $\phi\big((x,y),(x',y')\big) = xx' + yy'$ et la forme $\psi\big((x,y),(x',y')\big) = xx' + yy' + xy' - x'y$ vérifient :$$\phi\big((x,y),(x,y)\big) = \psi\big((x,y),(x,y)\big) = q(x,y)$$mais ont pour matrices respectives:$$\begin{pmatrix}1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}1 &-1\\ 1 &1\end{pmatrix}.$$
Bruno
Merci à tous et en particulier à Bruno.
A+
sinon pour le reste je pense avoir compris
merci
geoffrey
Bruno
Soit $q$ une forme quadratique, $\phi$ sa forme polaire et $\psi$ une forme bilinéaire alternée quelconque, alors $\phi + \psi$ est une forme bilinéaire dont la forme diagonale est également $q$. Relativement à une même base, les formes $\phi$ et $\phi + \psi$ ont des matrices différentes.
Concrètement, soit l'espace vectoriel $\R^2$, soit $q(x,y) = x^2 + y^2$ la forme quadratique canonique. La forme polaire $\phi\big((x,y),(x',y')\big) = xx' + yy'$ et la forme $\psi\big((x,y),(x',y')\big) = xy' - x'y$ vérifient :$$\phi\big((x,y),(x,y)\big) = (\phi + \psi)\big((x,y),(x,y)\big) = q(x,y)$$mais ont pour matrices respectives:$$\phi :: \begin{pmatrix}1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \phi + \psi :: \begin{pmatrix}1 &-1\\ 1 &1\end{pmatrix}.$$
Bruno