Bonjour,
tu trouves l'axe de la rotation $f$ (ensemble des vecteurs invariants), et tu notes $a$ un vecteur directeur unitaire de cet axe.
tu cherche $u$ un vecteur quelconque unitaire orthogonal à $a$
alors en notant $v= a /\backslash u$, $(a,u,v)$ est une bond.
Il ne reste plus qu'à chercher les composantes de f(u) sur $u$ et $v$.
Ce sont repectivement $\cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle de la rotation.
En effet, Le plan orthogonal à $a$ est stable par la rotation $f$, et pour tout vecteur unitaire $x$ de ce plan, on a :
$$f(x)=\cos(\alpha) x + \sin(\alpha) a/\backslash x$$.
Il "faut" utiliser la trace qui est invariante par changement de base.
Or, dans une base orthonormée adaptée, la matrice de ta rotation a les coeffs diagonaux égaux à cos a, cos a, 1.
Donc sa trace est 1+2cos(a).
La trace de ta matrice est 9/7 donc 2cos(a)=2/7 ie cos(a)=1/7.
je dis peut-etre des betises, mais il faut d'abord normaliser ta matrice. Une rotation est une isometrie, l'image d'une base orthonormee par une isometrie reste une base orthonormee.
Les vecteurs colonnes doivent donc etre de norme 1, ce qui n'est pas le cas ici.
Alors non une matrice de déterminant 1 n'est pas une isométrie.
Oui, A-1=tA suffit mais c'est assez "lourd" de calculer l'inverse.
Tu peux juste vérifier que la norme de chaque colonne est 1.
Et que les colonnes sont orthogonales entre elles (en faisant le produit scalaire canonique).
Sinon, bah l'angle dépend de l'axe de la rotation.
Tu peux choisir la valeur positif pour l'angle et calculer le bon vecteur directeur de l'axe en regardant par exemple A-tA et remarquer que c'est une matrice antisymétrique, ce qui permet de trouver l'axe correspondant à l'angle.
CITATION : " A-1=tA suffit mais c'est assez "lourd" de calculer l'inverse.
Tu peux juste vérifier que la norme de chaque colonne est 1.
Et que les colonnes sont orthogonales entre elles (en faisant le produit scalaire canonique)."
Faire ceci ou vérifier que $A^TA=I_3$ , ce sont exactement les mêmes calculs.
La matrice est bien orthogonale et de déterminant 1, donc c'est la matrice d'une rotation.
Une matrice orthogonale est une matrice de $\mathcal M_n(\R)$ dont les vecteurs colonnes (ou ligne) constituent une base orthonormée de l'espace $\R^n$. Quand à l'indétermination sur l'angle, elle tient à l'inexistence des angles orientés dans l'espace. Elle est donc tout à fait naturelle et il faut orienter le plan normal à l'axe pour obtenir une précision supplémentaire.
1) trouver l'axe orienté D de f en résolvant MX=X , X dans M3,1(lR)
2) trouver angle a de la rotation
2-1) déterminer cos(a) par tr(f) = 1 + 2cos(a)
2-2) sin(a) est du signe du produit mixte [ x, f(x) ,u ] pour n'importe quel vecteur x non colinéaire à u ,et u est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe D
Tombant sur un problème similaire, je voudrais juste vérifier que la matrice de rotation suivante : $$
\begin{pmatrix}
2/3 & 1/3 & 2/3 \\
2/3 & 2/3 & 1/3 \\
1/3 & -2/3 & 2/3
\end{pmatrix}
\text{est bien d'angle }\frac{\pi}_{3}\text{ et d'axe }\begin{pmatrix}
1 \\
-1/3 \\
1
\end{pmatrix}
$$ Si quelqu'un a le temps de jeter un coup d’œil.
sans vouloir dire d'absurdité. Il existe une BON telle que la matrice de la rotation soit de la forme : $$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta)&\sin(\theta)\\0&-\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}
$$ Donc quand on veut trouver les caractéristiques d'une rotation dans $\R^{3}$, on cherche sont axe (l'espace invariant), puis avec la trace (ce qui a déjà été dit plus haut) qui vaut $1+2\cos(\theta)$ on trouve $\cos(\theta)$. Pour $\sin(\theta)$ on utilise le fait suivant :
Soit $\overrightarrow{a}$ un vecteur de l'espace invariant (si possible normé), $\overrightarrow{u}$ un vecteur non colinéaire à $\overrightarrow{a}$. Alors $\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{u},\overrightarrow{r(u)})$ est du signe de $\sin(\theta)$. où on a noté $r$ la rotation considérée. Et bingo les éléments caractéristiques sont là.
Réponses
tu trouves l'axe de la rotation $f$ (ensemble des vecteurs invariants), et tu notes $a$ un vecteur directeur unitaire de cet axe.
tu cherche $u$ un vecteur quelconque unitaire orthogonal à $a$
alors en notant $v= a /\backslash u$, $(a,u,v)$ est une bond.
Il ne reste plus qu'à chercher les composantes de f(u) sur $u$ et $v$.
Ce sont repectivement $\cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle de la rotation.
En effet, Le plan orthogonal à $a$ est stable par la rotation $f$, et pour tout vecteur unitaire $x$ de ce plan, on a :
$$f(x)=\cos(\alpha) x + \sin(\alpha) a/\backslash x$$.
Sauf erreur.
(a,u,v) ?
si le determinant de (a,u,v) est -1 je dois prendre l'opposé de l'angle pour l'obtenir par rapport à l'orientation de la base canonique ?
Or, dans une base orthonormée adaptée, la matrice de ta rotation a les coeffs diagonaux égaux à cos a, cos a, 1.
Donc sa trace est 1+2cos(a).
La trace de ta matrice est 9/7 donc 2cos(a)=2/7 ie cos(a)=1/7.
est-ce qu'il suffit de dire :
-que c'est une isométrie : Transposé de A = inverse de A
-de déterminant +1 ?
mais je ne sais pas pourquoi, encore.
j'en discute justement sur
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=291230&t=291230>
Les vecteurs colonnes doivent donc etre de norme 1, ce qui n'est pas le cas ici.
Quelqu'un me corrigera.
See ya'
vinh
Oui, A-1=tA suffit mais c'est assez "lourd" de calculer l'inverse.
Tu peux juste vérifier que la norme de chaque colonne est 1.
Et que les colonnes sont orthogonales entre elles (en faisant le produit scalaire canonique).
Sinon, bah l'angle dépend de l'axe de la rotation.
Tu peux choisir la valeur positif pour l'angle et calculer le bon vecteur directeur de l'axe en regardant par exemple A-tA et remarquer que c'est une matrice antisymétrique, ce qui permet de trouver l'axe correspondant à l'angle.
Tu peux juste vérifier que la norme de chaque colonne est 1.
Et que les colonnes sont orthogonales entre elles (en faisant le produit scalaire canonique)."
Faire ceci ou vérifier que $A^TA=I_3$ , ce sont exactement les mêmes calculs.
La matrice est bien orthogonale et de déterminant 1, donc c'est la matrice d'une rotation.
cette indétermination est-elle due à un "excès" de symétrie ? Est-ce un phénomène général ? Quantique quand tu nous tiens...
Une matrice orthogonale est une matrice de $\mathcal M_n(\R)$ dont les vecteurs colonnes (ou ligne) constituent une base orthonormée de l'espace $\R^n$. Quand à l'indétermination sur l'angle, elle tient à l'inexistence des angles orientés dans l'espace. Elle est donc tout à fait naturelle et il faut orienter le plan normal à l'axe pour obtenir une précision supplémentaire.
Bruno
1) trouver l'axe orienté D de f en résolvant MX=X , X dans M3,1(lR)
2) trouver angle a de la rotation
2-1) déterminer cos(a) par tr(f) = 1 + 2cos(a)
2-2) sin(a) est du signe du produit mixte [ x, f(x) ,u ] pour n'importe quel vecteur x non colinéaire à u ,et u est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe D
en général ,si possible ,prendre x= (1,0,0)
toto, j'espère n'avoir pas dit trop de conneries
Tombant sur un problème similaire, je voudrais juste vérifier que la matrice de rotation suivante : $$
\begin{pmatrix}
2/3 & 1/3 & 2/3 \\
2/3 & 2/3 & 1/3 \\
1/3 & -2/3 & 2/3
\end{pmatrix}
\text{est bien d'angle }\frac{\pi}_{3}\text{ et d'axe }\begin{pmatrix}
1 \\
-1/3 \\
1
\end{pmatrix}
$$ Si quelqu'un a le temps de jeter un coup d’œil.
Le premier vecteur colonne et le troisième sont positifs, peuvent ils être orthogonaux?
Le produit scalaire canonique de tes deux premiers vecteurs colonnes vaut 4/9 et non pas 0.
Cette matrice n'est donc pas une matrice de rotation.
sans vouloir dire d'absurdité. Il existe une BON telle que la matrice de la rotation soit de la forme : $$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta)&\sin(\theta)\\0&-\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}
$$ Donc quand on veut trouver les caractéristiques d'une rotation dans $\R^{3}$, on cherche sont axe (l'espace invariant), puis avec la trace (ce qui a déjà été dit plus haut) qui vaut $1+2\cos(\theta)$ on trouve $\cos(\theta)$. Pour $\sin(\theta)$ on utilise le fait suivant :
Soit $\overrightarrow{a}$ un vecteur de l'espace invariant (si possible normé), $\overrightarrow{u}$ un vecteur non colinéaire à $\overrightarrow{a}$. Alors $\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{u},\overrightarrow{r(u)})$ est du signe de $\sin(\theta)$. où on a noté $r$ la rotation considérée. Et bingo les éléments caractéristiques sont là.
Cordialement.