ballon de football

bs1 · June 2006

Bonjour

Coupe du monde oblige .
Attention, ceci n'est pas un sondage pour savoir si l'équipe de France va rentrer au bercail après ses trois premiers matchs.
Lors de la leçon Combinatoire/dénombrement ,notre professeu(se), nous a posé cette question :sachant qu'un ballon de football est constitué d'hexagones et de pentagones (ce qui est vrai ), montrer que le nombre de pentagones est égal à 12. ( c'est très joli comme exercice ).

Cependant le calcul est tel que on ne sait rien sur le nombre d'hexagones.
Merci d'apporter des précisions sur la structure d'un tel polyèdre-ballon de foot qui doit dériver quelque part d'un polyèdre régulie ?
Pour les puristes ,aujourd'hui, le ballon du futur mondial est constitué de morceaux de cuir en forme de paramécies.

Merci

deufeufeu0 · June 2006

Oui c'est marrant, mais c'est quand même limite pour un dévellopement à l'agreg... Le gros du truc c'est poser le probleme, après c'est un système linéaire...

bosio frederic0 · June 2006

En fait, on montre qu'il y a forcement trois faces qui arrivent en chaque sommet puis on applique la formule d'Euler.

Pour la seconde question, il existe des polyèdres convexes avec 12 pentagones et un nombre pair quelconque d'hexagones. Toutefois, celui qu'on appelle le ballon de footbal a son groupe d'automorphismes qui agit transitivement sur les sommets, ce qui fait qu'en chacun on a deux hexagones et un pentagone. Dans ce cas, la seule possibilite est d'avoir 20 hexagones.

Bruno · June 2006

Bonjour

Je n'ai pas les connaissances de Frédéric, mais intuitivement si le ballon de foot est obtenu par simple troncature d'un icosaèdre, on a immédiatement les 12 pentagones. Après que reste-t-il ? 20 hexagones qui, si l'on tronque correctement sont réguliers. Pourquoi faire compliqué quend on peut faire simple ?

Bruno

vinh le ricain · June 2006

Bonjour

Cela me fait penser à une émission scientifique que j'avais regardée il y a très longtemps.

Dans cette émission, on parlait d'un théorème qui stipulait que l'on ne peut pas construire un ballon de football (donc un polyèdre) constitué uniquement de pentagones réguliers, mais qu'il fallait au moins 1 hexagone.

Je n'en sais pas plus mais c'était un clin d'oeil...
see ya'
vinh

bs1 · June 2006

bonsoir

oui Frédéric, avec la relation d'Euler, on obtient que le nombre de pentagones est 12, alors que le nombre d'hexagones disparait dans l'équation;alors , pourquoi uniquement envisager un nombre pair d'hexagones ? Pour l'action transitive ,je reprendrai ça plus tard, souhaitant comprendre.

Bruno, j'aime ton approche intuitive concernant la troncature du dodécaèdre ( c'est ce que tu as voulu dire ), c'est effectivement imagé.

merci

Bruno · June 2006

Non bs je parle effectivement d'un icosaèdre

Comme l'icosaèdre et le dodécaèdre sont duaux, il est clair que l'on peut obtenir le ballon de foot en découpant les deux polyèdres inscrits dans une même sphère et en coupant tout ce qui dépasse :-))

Bruno

bs1 · June 2006

Bonjour

Approche géométrique : oui Bruno, à chacun des 12 sommets de l'icosaèdre régulier qui possède 20 faces, convergent 5 triangles équilatéraux, d'où l'obtention après troncature correcte, des 12 pentagones et des 20 hexagones en question.

Frédéric, dans quel livre figure l'approche par l'action de groupe que tu décris ? Ou sur le net ?
Merci

Utilisateur anonyme · June 2006

En parlant de ça, aujourd'hui (=premier jour de la coupe du monde) il y a deux mathématiciens Allemands (!) qui ont posté sur arXiv un preprint <a href=" http://fr.arxiv.org/abs/math.GT/0606193"> http://fr.arxiv.org/abs/math.GT/0606193</a> contenant toute une variation sur le thème. Peut-être que là il y a matière pour un développement agreg...<BR><BR><BR>