action de groupe

lili M · August 2006

Bonjour,

J'ai rencontré la notion d'ordre de Chevalley entre deux orbites de l'action d'un groupe.

Je ne connais pas du tout cette notion, quelqu'un peut-il m'éclairer?

Merci,
lili.

[Je ne connais pas non plus. Bruno]

Bruno · August 2006

Pour suivre

lili M · August 2006

Merci d'avoir repris mon message, Bruno.

J'ai vu ça dans le dernier Mneime (ça fait un peu, le dernier single de...

)

lili

Fadalbalasolfamire · August 2006

Est ce que par hasard ce ne serait pas une histoire que l'une est contenue dans l'adherence d'une autre? je peux me tromper totalement.

Sylvain · August 2006

pas trop de maths, lili ;-)

lili M · August 2006

Fadalbalasolfamire, peut-être, je ne sais pas.

Sylvain, un peu, juste un peu, à dose homéopatique...

lili.

Vocabulaire · August 2006

Dans le dernier Mneimné, qui en parle dans le cas particulier des classes de similitude, c'est de ça qu'il est question.

lili M · August 2006

Vocabulaire, "c'est de ça qu'il est question" : de quoi exactement?
Désolée, je n'ai pas compris...

lili.

Vocabulaire · August 2006

De ce dont parle Fadalbalasolfamire.

lili M · August 2006

Merci à Vocabulaire et fadalbasolfamine. Est-ce que vous pourriez détailler un peu plus?

lili.

jeroM · August 2006

Dans l'avant-dernier Mneimne (éléments de géométrie - action de groupes), il donne la définition, je cite:
Quand un groupe algébrique opère sur une variété algébrique, les orbites sont localement fermées pour la topologie de Zariski et il existe un ordre $naturel$ , qu'on choisira d'appeler l'odre de Chevalley, sur l'ensemble de ces orbites: on écrit $A_1

Sylvain · August 2006

Ce ne serait pas plutôt "$ A_1$ est contenu dans $ adhérence(A_2)$" ?

Sylvain

jeroM · August 2006

Bien sûr Sylvain , erreur de frappe. Je me suis un peu débattu avec le code Latex pour écrire adhérence.
Si quelqu'un connaît la commande, pour placer la barre au-dessus de A, je suis preneur.

[Pour la barre au dessus : $ \overline{A_2} $ . AD]

lili M · August 2006

Ok. Merci beaucoup.

lili

Escroc · August 2006

En fait cette notion d'ordre apparait par exemple lorsque l'on prend pour groupe algébrique $G=GL_n$ agissant sur la variété de drapeaux $G/B$ où $B$ est le groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles.
Cette variété est l'espace des drapeaux droite $\subset$ plan $\subset \dots$ jusqu'à l'espace tout entier.
Les orbites de $B$ dans $G/B$ sont données par le groupe symétrique
$$
B\backslash G/B \simeq \mathfrak{S}_n
$$
(matrices de permutations), si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de ton e.v.
on lui associe le drapeaux $\subset \subset \dots $. Le drapeaux associé à la permutation $\sigma$ est
$\subset \dots \subset $ . Les adhérences des orbites associées sont apellées des variétés de Schubert et définissent donc un ordre sur le groupe symétrique.

Cela se généralise au cas des groupes de Weyl des groupes algébriques réductifs quelconques.

jeroM · August 2006

Merci AD

[A ton service

AD]

lili M · August 2006

Bonjour à tous et encore merci pour vos réponses.
Je me suis adressée aussi à Mr Mneimne et je vous joins la réponse qu'il m'a envoyée :

&quotPour répondre à votre question, il faut noter que l'ordre de Chevalley sur l'ensemble des orbites d'un groupe agissant sur un espace topologique $X$ peut être défini dès lors que les orbites sont localement fermées, c'est-à-dire chacune ouverte dans son adhérence. On dira alors que l'orbite $O_1$ est plus petite que l'orbite $O_2$ si $O_1$ est contenue dans l'adhérence de $O_2$. L'antisymétrie découle alors du fait que si $O_1$ et $O_2$ ont même adhérence, elles vont se couper et sont donc alors égales.

Dans le cas des classes de similitude, les orbites sont du fait du théorème de Weyr clairement localement fermées. De plus l'ordre de Chevalley coïncide, une fois les classes de similitude du cône nilpotent mises en bijection avec les tableaux de Young, avec l'ordre sur l'ensemble de ces derniers défini comme suit; un tableau est plus petit qu'un autre s'il s'en déduit pat dégradations successives de cases... "