Plein de questions sur les groupes
1) Quels sont les morphismes de Sn dans C* (je ne vois que le morphisme signature).
2) Montrer qu'un groupe d'ordre 2n avec n impair contient un sous groupe d'ordre n.
3) Déterminer les 2-Sylows de S4.
4) Existe-t-il une injection de S3 dans A4 ?
5) Montrer que GL(2,F2) est isomorphe à S3. Groupe dérivé ?
6) Trouver les sous-groupes de Z/pZ x Z/pZ
7) Quel est le groupe (Fq,+) ??
8) Existe-t-il une injection de Sn dans Sn-1 ??
9) Identifier le groupe PGL(2,F4).
10) {1,(1,2)} est-t-il distingué dans Sn ? Normalisateur ?
Merci déjà à ceux qui vont s'y intéresser
2) Montrer qu'un groupe d'ordre 2n avec n impair contient un sous groupe d'ordre n.
3) Déterminer les 2-Sylows de S4.
4) Existe-t-il une injection de S3 dans A4 ?
5) Montrer que GL(2,F2) est isomorphe à S3. Groupe dérivé ?
6) Trouver les sous-groupes de Z/pZ x Z/pZ
7) Quel est le groupe (Fq,+) ??
8) Existe-t-il une injection de Sn dans Sn-1 ??
9) Identifier le groupe PGL(2,F4).
10) {1,(1,2)} est-t-il distingué dans Sn ? Normalisateur ?
Merci déjà à ceux qui vont s'y intéresser
Réponses
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1) Effectivement ; il suffit de remarquer que l'image d'une transposition est d'ordre au plus 2 dans $\C^*$.
Euh... tu n'aurais pas recopié intégralement ton poly de TD ? -
2) un sous groupe d'ordre 2 est toujours distingué, 2 et n sont premier entre eux.... une idée :-) ?
<BR>
<BR>3) je dirais : applique le theoreme du meme nom :-)
<BR>
<BR>4) s'il en existe une, alors S" doit etre isomorphe a un sous groupe de A4
<BR>
<BR>je te laisse bosser pour le reste !<BR> -
merci pour vos réponses !
egoroff> il sagit dun questionnaire de 500 questions..... donc on est loin de l'intégralité
-
Ah oui quand même... 500 !
J'ai oublié de dire que toutes les transpositions étaient conjuguées et que $\C^*$ était abélien. -
1) N'oublions pas le morphisme trivial.
-
J'essaie au cas où : tu ne pourrais pas scanner le poly ? Ces 500 questions m'interessent.
Enfin, après 500 questions ca doit faire plusieurs pages...
Merci -
Désolé jai pas de scanner.
Pour la 7, je vois pas ce quon demande ?? -
Pour la 7), je suppose que ce qui est demandé est de dire que si on écrit $q=p^r$, $\mathbb{F}_q \equiv (\Z/p\Z)^r$.
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Ah d'accord.
Sinon pour la 2, je n'ai pas compris l'explication
-
Bonsoir Mic
Pour la 2), l'indication donnée par Jobherzt est erronnée.
> est en général faux !
prends par exemple le groupe $\frak{S}_3$ qui admet 3 transpositions conjuguées (ce sont les 2-Sylow) donc pas distingués.
Jobherzt voulait certainement dire :
> qui est correct, mais pas de grande utilité pour la question 2, où on demande précisément de montrer l'existence d'un tel sous-groupe d'indice 2.
Moi je te propose cela :
$G$ groupe d'ordre $2n$ avec $n$ impair. Notons $a_1,a_2,\ldots, a_{2n}$ les éléments du groupe.
Soit $\phi : G \rightarrow \frak{S}_{2n}$ le morphisme défini par :
pour $x\in G, \ \phi(x)$ est la permutation qui transforme $\{a_1,\ldots,a_{2n}\}$ en $\{xa_1,\ldots,xa_{2n}\}$
(exercice vérifier que $\phi(x)\in \frak{S}_{2n}}$ (càd est une bijection) et vérifier que $\phi$ est un morphisme de groupes)
Alors on considère la composition : $$G\xrightarrow{\ \phi\ } \frak{S}_{2n} \xrightarrow{\ \varepsilon\ }\{-1,1\}$$ où $\varepsilon$ est le morphisme signature.
Si $\varepsilon\circ\phi$ n'est pas trivial, alors son noyau est d'indice 2 dans $G$
Pour montrer que $\varepsilon\circ\phi$ n'est pas trivial, considérons $x\in G$ d'ordre 2 (il en existe d'après Cauchy).
$\phi(x)$ est une permutation d'ordre 2 qui envoie $a_i$ en $xa_i$ et $xa_i$ en $x^2a_i=a_i$ ( $x$ est d'ordre 2), c'est donc une transposition $(a_i,xa_i)$. Donc $\phi(x)$ est la composée de transpositions $(a_1,xa_1)(a_i,xa_i)\ldots$ en choisissant un $a_i \neq xa_1$ etc.
Puisque $|G|=2n$, il y aura $n$ telles transpositions, et comme $n$ est impair, $\varepsilon(\phi(x)) = -1$. C'est gagné.
Alain -
Remarque : la condition $n$ impair est essentielle parceque par exemple $\frak{A}_4$ est un groupe à 12 éléments qui n'a pas de sous-groupe d'ordre 6.
Ou bien encore $\frak{A}_5$ est un groupe simple d'ordre $60=4\times 15$, s'il avait un sous-groupe d'ordre 30, celui-ci serait distingué (car d'indice 2, voir l'indication corrigée de Jobherzt), contredisant la simplicité. -
Ca ne serait pas par hasard les questions du poly de Lazlo et Debarre pour l'agrégation ? Si c'est le cas, il est toujours disponible sur le site de Debarre à Strasbourg. En tout cas, c'est classique, et ce genre de questions doivent se retrouver un peu de partout, par exemple dans le bouquin de Delcourt.
-
Je m'attarde sur la 4 en cherchant la petite bète.
Il y a plus que surement des injections de S_3 dans A_4, simplement parce que S_3 est de cardinal plus petit que A_4.
De là à ce que parmi ces injections il y ait un morphisme de groupes, c'est une autre histoire. -
Pour la 7 je pense qu'on attend simplement que le candidat dise que c'est (Z/qZ,+) habituel. Histoire de bien voir si on ne confondrait pas par hasard la structure de groupe additif avec la multiplicative sur les corps finis...
Que celui à qui ce n'est jamais arrivé me jette la première pierre. -
Alain pour la 2, si ton morphisme composé est non trivial, je ne vois pas pourquoi son noyau est d'indice 2 dans G
Sinon je crois avoir compris le reste C'est astucieux !
Quelqu'un a-t-il des idées pour la 10 ?? : {1,(1,2)} est-il distingué dans Sn ? Normalisateur ? Moi je dirais non car on n'a pas pour tout s de Sn, s°{1,(1,2)} = {1,(1,2)}°s -
Bonjour Mic
Le morphisme $\varepsilon\circ \phi : G \rightarrow \{-1,+1\}$ n'est pas trivial donc surjectif dans $\{-1,+1\}$. Donc pour les ordres : $|G|=|\ker (\varepsilon\circ \phi) | . |\{-1,+1\}|$. D'où l'ordre du noyau.
Pour le 10) tu as fait presque tout le chemin. Il ne te reste qu'à prendre un $s$ bien choisi. Par exemple la transposition $(1,3)$.
Alain -
Bonjour à tous !
Que signifie le mot "trivial" en maths, et surtout dans ce contexte ?
Merci -
Par exemple un morphisme de groupes trivial est un morphisme qui envoie tous les éléments du groupe de départ sur le neutre du groupe d'arrivée.
-
Salut à tous!
En vrac:
4)
A4 ne contient pas de sous groupe d'ordre 6, car sinon il aurait un élément d'ordre 2 et un d'ordre 3 (théorème de Cauchy) et cela ne peut être qu'un produit de transposition pour l'élément d'ordre 2.
Ensuite, je pense que ça poserait des problèmes de stabilité, ou même tu pourrais surement inclure tous les produits de deux transpositions par conjugaison dans A4 (donc le groupe de Klein) dans ce sous groupe d'ordre 6: impossible.
5)
Faire agir GL(2,F2) sur les trois droites de l'e.v (F2)^2, ce qui doit peut-être donner l'isomorphime. Le groupe dérivé de S3 est A3.
6)
Je pense (à tort ?) au groupe trivial, à {1} * Z/pZ , à Z/pZ * {1} et au groupe tout entier.
8)
Vu les cardinaux, sûrement pas... -
OA : pour le 6) je pense en effet que tu as "tord"
Il y a autant de sous-groupes d'ordre $p$ dans $\Z / p \Z$ que de droites vectorielles dans un plan vectoriel sur $\mathbb{F}_p$., dans autant que d'éléments de la droite projective sur $\mathbb{F}_p$, soit $p$ éléments + un point à l'infini.
On peut aussi voir que tous les éléments non identiques sont d'ordre $p$, et l'intersection de sous-groupes d'ordre $p$ distincts est réduite à l'identité puisque $p$ est premier, donc le nombre de sous-groupes d'ordre $p$ vérifie $n(p-1)+1=p^2$. -
Très juste egoroff!
Je n'avais pas pensé à voir ça comme un e.v, alors qu'on le fait bien pour déterminer la forme du groupe (Fq,+). -
4) Je n'ai pas compris d'où sort l'imppossibiltié du fait de la présence d'éléments d'ordre 2...
5) Comment peut-on voir S3 géomtriquement comme ev ?
6) Comment on les trouve alors ? -
up
-
S3 n'est pas un espace vectoriel. Si tu veux une interprétation géométrique, il est isomorphe au groupe des isométries du plan qui conservent le triangle équilatéral.
-
Bonsoir Mic
{\bf Pour 4) Existe-t-il une injection de $\frak{S}_3$ dans $\frak{A}_4$ ?}
S'il existait une telle injection, son image serait un sous-groupe d'ordre 6 de $\frak{A}_4$. Or $\frak{A}_4$ ne contient pas de sous-groupes d'ordre 6.
{\bf Pour 5) Montrer que $GL(2,\mathbb{F}_2)$ est isomorphe à $\frak{S}_3$. Groupe dérivé ?}
Un moyen est de définir une bijection $f : GL(2,\mathbb{F}_2) \rightarrow \frak{S}_3$
Tu listes les 6 éléments de $GL(2,\mathbb{F}_2)$ Tu calcules l'ordre de chacun.
Tu prends une matrice d'ordre 3 et tu l'envoies par $f$ sur un élément d'ordre 3 de $\frak{S}_3$ : $$\begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix} \mapsto (1,2,3)$$ Puis tu prends une matrice d'ordre 2 et tu essaies de l'envoyer par $f$ en l'une des 3 transpositions $(1,2)\ ;\ (2,3)\ ; \ (1,3)$ et tu gardes le cas qui fait de $f$ un morphisme.
{\bf Pour 6) Trouver les sous-groupes de $\Z/p\Z \times \Z/p\Z$}
Egorof dans son message du 08-11-06 13:35 t'a donné l'indication.
Pour comprendre ce qui se passe tu essaies :
avec $p=2$ tu trouves 3 sous-groupes
avec $p=3$ tu trouves 4 sous-groupes
etc.
Tu te rends compte que 2 sous-groupes différents ne partagent que le neutre $(0,0)$ et que chaque sous-groupe contient $p-1$ éléments autres que le neutre, après il n'y a plus qu'à compter.
Relis le message d'Egoroff.
Bon courage, et pose des questions si tu bloques.
Alain -
Merci !!
J'ai comrpis
J'ai une dernière question :
Montrer que GL(n,Fq) contient un élément d'ordre q^n-1 :
Je sais que l'ordre du groupe c'est (q^n-1)(q^n-q)........(q^n-q^(n-1))
Mais q^n-1 nest pas premier donc on ne peut pas appliquer Cauchy, je ne trouve pas l'argument pour l'existence -
Et je n'arrive pas à identifier PGL(2,F4) (question 9).
-
Bonsoir Mic
{\bf Pour 9) Identifier le groupe $PGL_2(\mathbb{F}_4)$}
Il faut savoir que $PGL_2(\mathbb{F}_4)$ est un groupe simple d'ordre 60, c'est donc $\frak{A}_5$. Pour le justifier, on peut trouver l'isomorphisme $f : PGL_2(\mathbb{F}_4) \rightarrow \frak{A}_5$. Où $\frak{A}_5$ est défini par sa présentation : $$ \frak{A}_5 = \ $$
Il faut donc trouver dans $PGL_2(\mathbb{F}_4)$ une matrice d'ordre 5 et une d'ordre 3 telles que leur produit soit d'ordre 2.
Avant d'aller plus moin, il faut rappeler comment on calcule dans $\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2 \oplus \alpha \mathbb{F}_2$ où $\alpha$ est la racine du polynôme irréductible $X^2+X+1 \in \mathbb{F}_2[X]$. Ainsi $\alpha^2=1+\alpha$ (on est dans un corps de caractéristique 2 donc $-1=+1$ ).
Les 4 éléments de $\mathbb{F}_4 =\{0,\ 1,\ \alpha,\ 1+\alpha \}$ avec $\alpha^3=1,\ \alpha^2=1+\alpha = \alpha^{-1}$.
Revenons à $PGL_2(\mathbb{F}_4)$. Rappelons que c'est le quotient de $GL_2(\mathbb{F}_4)$ par son centre : le groupe des homothéties. Ainsi les matrices $M, \ \alpha M,\ \alpha^2 M$ sont le même élément de $PGL_2(\mathbb{F}_4)$.
Remarquons aussi que $|PGL_2(\mathbb{F}_4)| = 60 = 2^2\times 3\times 5$ ainsi les 3-Sylow (resp 5-Sylow) sont cycliques d'ordre 3 (resp 5) et sont tous conjugués entre eux. Tout élément d'ordre 3 (resp 5) est donc générateur d'un 3-Sylow (resp 5-Sylow).
Puisque $\alpha$ est d'ordre 3, on peut poser $b=\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}$ qui est bien d'ordre 3.
Après quelques tâtonnements on trouve que $a=\begin{pmatrix}1&\alpha\\ \alpha&\alpha\end{pmatrix}$ est un élément d'ordre 5.
On calcule alors $ab=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha\\ 1+\alpha&\alpha\end{pmatrix}$ et on vérifie que $(ab)^2 = \begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\alpha\end{pmatrix} = \alpha I = I$ dans $PGL_2(\mathbb{F}_4)$
Et voilà l'isomorphisme $f$ désiré.
Remarque si $ab$ n'avait pas été d'ordre 2, il aurait fallu essayer $a^2b$, parceque $a^2$ est aussi générateur du cyclique d'ordre 5.
Alain -
Re-bonsoir
En fait, le morphisme $f$ du précédent message est : $\frak{A}_5 \rightarrow PGL_2(\mathbb{F}_4)$, défini sur les générateurs de $\frak{A}_5$ par : $$ f(a) = \begin{pmatrix}1&\alpha\\ \alpha&\alpha\end{pmatrix}\quad ; \quad f(b) = \begin{pmatrix}\alpha&0\\ 0&1\end{pmatrix}$$ puisque $f\big( (ab)^2\big) = \big(f(a)f(b)\big)^2 = I_{PGL_2(\mathbb{F}_4)}$, c'est un morphisme (non trivial) depuis un groupe libre ( $\frak{A}_5$ ) donc est injectif (son noyau ne peut être que trivial). Comme les groupes d'arrivée et de départ ont même cardinal 60, $f$ est un isomorphisme.
Alain -
depuis un groupe libre
' simple ' bien sûr -
Simple bien sûr.
Merci Kilpinfskyi pour avoir corrigé cette bévue (l'heure tardive peut-être ?)
Alain -
@ Debreil :
pour $PGL_2(F_4)$, il y a un argument beaucoup plus simple.
En effet, $PGL_2(F_4)$ agit fidèlement sur la droite projective
$P(F_4)$, qui possède cinq éléments. D'où un morphisme injectif
$PGL_2(F_4) \hookrightarrow \mathfrak{S}_5$. Puisque $\mathfrak{S}_5$ ne possède qu'un seul sous-groupe d'indice 2, la cause est entendue... -
Voila mes réponses (j’ai pris connaissance de ce topic en retard), n'ayant pas lu les vôtres, désolé pour les éventuelles redites:
1) Quels sont les morphismes de $\frak{S}_n$ dans $\C^{*}$ (je ne vois que le morphisme signature)?
$\frak{S}_n$ étant engendré par ses transpositions, voyons ce qui ce passe avec elles.
Soit $f$ un morphisme de $\frak{S}_n$ dans $\C^{*}$ et soit $\tau$ une transposition.
$f(\tau^2) =f(\tau)^2$, ainsi $f(\tau)$ est égal à 1 ou à -1.
Dans le premier cas, cela donne le morphisme trivial, et dans l'autre la signature.
2) Montrer qu'un groupe d'ordre 2n avec n impair contient un sous groupe d'ordre n.
Oups, j'ai séché...
3) Déterminer les 2-Sylows de S4.
$| \frak{S}_4 |=2^{3}3$.
$\frak{S}_4$ admet $n_2$ $2 sous-groupes$ de sylow (d'ordre 8 rappelons le ) avec $n_2$ divisant 3 et congru à 1 modulo 2(qui n'apporte rien ici).
Comptons donc les $3-sous groupes$de sylow de $\frak{S}_4$ :
$n_3$, vaut 1 ou 4, or les $3-sylow$ sont engendrés par les 3-cycles, et comme on peut en exhiber rapidement plus de 3 distincts, il y en a 4.
Cela fait 8 éléments d'ordre 3 qui ne peuvent donc être dans les $2-sylow$, il ne peut donc avoir 1 seul $2-sylow$ (8+8=16 $ n'est donc pas distingué dans $ < (a b c) ,(a b)(c d) >$.
La même démarche prouve qu'aucun sous groupe $ < (a b c) > $ n'est distingué dans aucun sous groupe $ < (a b c) , (a_1 a_2)(a_3 a_4) >$.
Aucun sous groupe de $A_4$ n'est donc isomorphe à $\frak{S}_3$.
Il y a peut être beaucoup plus simple.
5) Montrer que GL(2,F2) est isomorphe à S3. Groupe dérivé ?
$GL_2(F_2)$ est un groupe d'ordre 6.
Il agit transitivement sur les bases d'un $F_2$-espace vectoriel de dimension 2, il y en a $(2^2 -1)(2^2 -2) =6$.
Et il n'est pas commutatif, cela ne peut être que (à isomorphisme prêt) $\frak_3$.
Son groupe dérivé est donc son sous groupe d'ordre 3.
Soient $ \{ e_1, e_2, e_3 \}$ les 3 vecteurs non nuls d'un $F_2 -espace vectoriel$ de dimension 2.
J'associe à $(1 2 3)$, l'isomorphisme $f$ tel que $f(e_1) = e_2$ , $f(e_2) = e_3$ et bien sûr, $f (e_3) = e_1$.
D'où $D (GL_2(F_2) )$ = $\left (\begin{array}{*9c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$
6) Trouver les sous-groupes de Z/pZ x Z/pZ
Euh, $\{1 \}$ x$\{1 \}$, $\{ 1 \}$x$\frac{\Z}{p\Z}$,$ \frac{\Z}{p\Z}$x$\{1\}$ et $\frac{\Z}{p\Z}$x$frac{\Z}{p\Z}$.
7) Quel est le groupe (Fq,+) ??
Soit $q =p^n$.
$F_q$ est une extension monogène de $F_p$, on a donc l’existence de $\alpha$ dans $F_q$ tel que $F_q = F_p [ \alpha ] $.
$F_q$ est un $F_p$ ev de dimension q-1, il est isomorphe à $ { \frac{\Z}{p\Z} }^{q-1}$ .
8) Existe-t-il une injection de Sn dans Sn-1 ??
$| \frak{S}_n | > | \frak{S}_{n-1} |$, on ne peut donc trouver d'injection.
Un question plus intéressante est de discuter des surjection de $\frak{S}_n$ vers $\frak{S}_{n-1}$.
9) Identifier le groupe PGL(2,F4).
$F_4$ est un extension de degré 2 de $F_2$.
$F_4 = \{0, 1, a, 1 +a \}$, (rem $a^2$ = 1+a ).
$PGL_2 (F_4)$ est de cardinal 60. Cela sent le $A_5$, comment le prouver ?
$PGL_2 (F_4)$ est le quotient de $GL_2 (F_4)$ par son centre (i.e. $a I_2$ avec a dans ${F_4}^{*}$ ).
Un $F_4$-ev de dimension 2 a 5 droites et $GL_2(F_4)$ agit transitivement sur les 5 droites vectorielles.
On a donc un morphisme de $GL_2(F_4)$ sur $A_5$ qui se factorise via le centre.
$PGL_2 (F_4)$ est isomorphe à $A_5$.
10) $\{1,(1,2)\}$ est-t-il distingué dans Sn ? Normalisateur ?
Non, pour tout $\sigma$ dans $ \frak{S}_n$, on a :
$\sigma (1 2) \sigma^{-1}$ =$( \sigma(1) \sigma(2)) $, ainsi dès que $\sigma (1) $ ou $\sigma (2) $ est différent de 1 et de 2, le sous groupe n'est pas distingué.
Le normalisateur de $ \{1,(1,2) \} $ est le plus grand sous groupe de $\frak{S}_n$ dans lequel il est distingué.
D'après ce que je viens de dire, c'est donc le sous groupe contenant tous les éléments de $\frak{S}_n$ qui fixent l'ensemble $ \{1,2 \} $.
Sauf erreurs.
Don't dream it, be it. -
Voila mes réponses (j’ai pris connaissance de ce topic en retard), n'ayant pas lu les vôtres, désolé pour les éventuelles redites:
1) Quels sont les morphismes de $\frak{S}_n$ dans $\C^{*}$ (je ne vois que le morphisme signature)?
$\frak{S}_n$ étant engendré par ses transpositions, voyons ce qui ce passe avec elles.
Soit $f$ un morphisme de $\frak{S}_n$ dans $\C^{*}$ et soit $\tau$ une transposition.
$f(\tau^2) =f(\tau)^2$, ainsi $f(\tau)$ est égal à 1 ou à -1.
Dans le premier cas, cela donne le morphisme trivial, et dans l'autre la signature.
2) Montrer qu'un groupe d'ordre 2n avec n impair contient un sous groupe d'ordre n.
Oups, j'ai séché...
3) Déterminer les 2-Sylows de S4.
$| \frak{S}_4 |=2^{3}3$.
$\frak{S}_4$ admet $n_2$ $2 sous-groupes$ de sylow (d'ordre 8 rappelons le ) avec $n_2$ divisant 3 et congru à 1 modulo 2(qui n'apporte rien ici).
Comptons donc les $3-sous groupes$de sylow de $\frak{S}_4$ :
$n_3$, vaut 1 ou 4, or les $3-sylow$ sont engendrés par les 3-cycles, et comme on peut en exhiber rapidement plus de 3 distincts, il y en a 4.
Cela fait 8 éléments d'ordre 3 qui ne peuvent donc être dans les $2-sylow$, il ne peut donc avoir 1 seul $2-sylow$ (8+8=16 $ n'est donc pas distingué dans $ < (a b c) ,(a b)(c d) >$.
La même démarche prouve qu'aucun sous groupe $ < (a b c) > $ n'est distingué dans aucun sous groupe $ < (a b c) , (a_1 a_2)(a_3 a_4) >$.
Aucun sous groupe de $A_4$ n'est donc isomorphe à $\frak{S}_3$.
Il y a peut être beaucoup plus simple.
5) Montrer que GL(2,F2) est isomorphe à S3. Groupe dérivé ?
$GL_2(F_2)$ est un groupe d'ordre 6.
Il agit transitivement sur les bases d'un $F_2$-espace vectoriel de dimension 2, il y en a $(2^2 -1)(2^2 -2) =6$.
Et il n'est pas commutatif, cela ne peut être que (à isomorphisme prêt) $\frak_3$.
Son groupe dérivé est donc son sous groupe d'ordre 3.
Soient $ \{ e_1, e_2, e_3 \}$ les 3 vecteurs non nuls d'un $F_2 -espace vectoriel$ de dimension 2.
J'associe à $(1 2 3)$, l'isomorphisme $f$ tel que $f(e_1) = e_2$ , $f(e_2) = e_3$ et bien sûr, $f (e_3) = e_1$.
D'où $D (GL_2(F_2) )$ = $\left (\begin{array}{*9c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$
6) Trouver les sous-groupes de Z/pZ x Z/pZ
Euh, $\{1 \}$ x$\{1 \}$, $\{ 1 \}$x$\frac{\Z}{p\Z}$,$ \frac{\Z}{p\Z}$x$\{1\}$ et $\frac{\Z}{p\Z}$x$frac{\Z}{p\Z}$.
7) Quel est le groupe (Fq,+) ??
Soit $q =p^n$.
$F_q$ est une extension monogène de $F_p$, on a donc l’existence de $\alpha$ dans $F_q$ tel que $F_q = F_p [ \alpha ] $.
$F_q$ est un $F_p$ ev de dimension q-1, il est isomorphe à $ { \frac{\Z}{p\Z} }^{q-1}$ .
8) Existe-t-il une injection de Sn dans Sn-1 ??
$| \frak{S}_n | > | \frak{S}_{n-1} |$, on ne peut donc trouver d'injection.
Un question plus intéressante est de discuter des surjection de $\frak{S}_n$ vers $\frak{S}_{n-1}$.
9) Identifier le groupe PGL(2,F4).
$F_4$ est un extension de degré 2 de $F_2$.
$F_4 = \{0, 1, a, 1 +a \}$, (rem $a^2$ = 1+a ).
$PGL_2 (F_4)$ est de cardinal 60. Cela sent le $A_5$, comment le prouver ?
$PGL_2 (F_4)$ est le quotient de $GL_2 (F_4)$ par son centre (i.e. $a I_2$ avec a dans ${F_4}^{*}$ ).
Un $F_4$-ev de dimension 2 a 5 droites et $GL_2(F_4)$ agit transitivement sur les 5 droites vectorielles.
On a donc un morphisme de $GL_2(F_4)$ sur $A_5$ qui se factorise via le centre.
$PGL_2 (F_4)$ est isomorphe à $A_5$.
10) $\{1,(1,2)\}$ est-t-il distingué dans Sn ? Normalisateur ?
Non, pour tout $\sigma$ dans $ \frak{S}_n$, on a :
$\sigma (1 2) \sigma^{-1}$ =$( \sigma(1) \sigma(2)) $, ainsi dès que $\sigma (1) $ ou $\sigma (2) $ est différent de 1 et de 2, le sous groupe n'est pas distingué.
Le normalisateur de $ \{1,(1,2) \} $ est le plus grand sous groupe de $\frak{S}_n$ dans lequel il est distingué.
D'après ce que je viens de dire, c'est donc le sous groupe contenant tous les éléments de $\frak{S}_n$ qui fixent l'ensemble $ \{1,2 \} $.
Sauf erreurs.
Don't dream it, be it. -
Merci Airy, c'est vraiment très complet !!!
-
Juste un détail : dans la question 10), le sous groupe est trivialement distingué si n=2.
-
Quelques coquilles à corriger :
5) Montrer que GL(2,F2) est isomorphe à S3. Groupe dérivé ?\\
\\
A la place de [...] D'où $D (GL_2(F_2) )$ = $\left (\begin{array}{*9c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$[...] \\
\\
Il faut lire [...] D'où $D (GL_2(F_2) )$ = $ < \left (\begin{array}{*9c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) > $[...] \\
Je parlais bien sûr de sous-groupe engendré.
\\
7) Quel est le groupe (Fq,+) ??\\
\\
A la place de [...] $F_q$ est un $F_p$ ev de dimension q-1, il est isomorphe à $ ( { \frac{\Z}{p\Z} } )^{q-1}$. [...]\\
\\
Il faut lire [...] $F_q$ est un $F_p$ ev de dimension n, il est isomorphe à $ ( { \frac{\Z}{p\Z} } )^{n}$. [...]\\
Enfin,
9) Identifier le groupe PGL(2,F4).\\
\\
A la place de [...]$GL_2(F_4)$ agit transitivement sur les 5 droites vectorielles.[...] \\
\\
Il faut lire [...]$GL_2(F_4)$ agit transitivement sur l'ensemble des 5 droites vectorielles.[...]\\
Sauf erreurs(que je n'aurais toujours pas corrigées).\\
\\
Sauf erreurs (toujours non corrigées).
Airy.
Don't dream it, be it. -
Question subsidiaire : quels sont les sous-groupes distingués du groupe symétrique ?
-
{\bf 6) Trouver les sous-groupes de Z/pZ x Z/pZ }:
O.k. pour mon erreur, et de plus cela me semblait louche.
J'aurais du tester à la main $\frac{\Z}{3 \Z}$x$frac{\Z}{3\Z}$.
Dès cet exemple, j'aurais vu l'erreur, par contre je reconnais ne pas connaitre l'argument d'Egoroff et vais bosser dessus.
Guimauve>
Pour $n \geq 5$, $\frak{S}_n$ n'admet comme sous groupes distingué que lui même, $\frak{A}_n$ et $ \{1\}$.
Les cas pour $n \leq 4$ se font à la main, et je suis trop paresseux .
L'idée générale (outre les sous groupe distingués classiques) est que le conjugué d'une bijection est une bijection de la même nature (i.e. le conjugué d'une transposition est une transposition, le conjugué d'un produit de transpositions à supports disjoints est un produit de transpositions à supports disjoints).
Sauf erreurs.
Airy
Don't dream it, be it. -
Mic, si j'ai bien compté, il reste 490 questions; doit on déduire que tu les as toutes solutionnées?
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Bonjour!
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