Suites de composition

Ca y est je crois que j'ai compris !!!

Mais j'espère qu'il y a une âme charitable pour me dire si j'ai raison ou pas. Je travaille sur livres, et c'est pas facile car un livre ne réponds pas aux questions !! Merci à vous d'avance.

Alors si je considère $Card(G)=1$ ou 2 $G$ cyclique
Pour $Card(G)=3$, considérons $x_1,x_2,x_3$ l'un est l'élément neutre (on va dire $x_1$).

Le premier groupe est $x_1$. Si l'on considère $\{x_2, x_1\}$. Il est évident que $\{x_2,x_1\}/\{x_1\}$ est cyclique avec pour générateur $x_1x_2$

Le troisième groupe est $G$ lui-même avec pour générateur $x_3/\{x_1,x_2\}$

Donc $G$ peut bien être décomposé en une suite de composition cyclique.

Admettons le pour $card(G)=n$

Pour $Card(G)=n+1$, si on prend la restriction de $G$ pour $n$ éléments, on peut créer un suite de composition cyclique : $\{e\}=G_1 \subset\ G_2 \subset\ \ldots \subset\ G_n$

Prenons maintenant le groupe $G$. Si on regarde $G/G_n$, ce sera bien un groupe cyclique car il est réduit à l'élément $n+1.G_n$

Ca me parait correct. Cependant, j'ai deux grosses questions qui me font douter :

1) Je n'ai pas utilisé le fait que la suite de compo devait être abélienne, ça sent mauvais...
2) Pourquoi Lang est passé par $G'=G/X$ alors qu'il n'y a pas besoin ? ...

Qu'est-ce que tu appelles "la restriction de $G$ pour $n$ éléments" ?

Exactement...

Et d'après le théorème de Lagrange une condition nécéssaire pour qu'un groupe de cardinal $n+1$ admette un sous-groupe de cardinal $n$ est que $n|n+1$ ce qui impose $n=1$.

En effet :-)

Suppose la propriété vraie pour tous les cardinaux $< n$ et soit $G$ un groupe de cardinal $n$, $x \neq e$, $X=$ et $G'=G/X$ comme dans l'indication. Alors $G'$ admet par l'hypothèse de récurrence une suite de composition cyclique $\{e_{G'}\}=G'_1 \subset G'_2 \subset \cdots \subset G'_n = G'$.

On note $\pi \, : \, G \to G'$ la projection canonique et on définit $G_k=\pi^{-1}(G'_k)$ pour $1 \leq k \leq n$, et $G_0=\{e_G\}$. Alors les $G_k, \, 0 \leq k \leq n$ forment une suite croissante de sous-groupes de $G$ telle que $G_0=\{e_G\}$ et $G_n=G$, ça c'est facile. Et pour $k \geq 1$ on a $X=G_1 \subset G_k$ et donc (là je laisserai la justification rigoureuse aux spécialistes, ça doit être le $j$-ième théorème d'isomorphisme) $G_{k+1}/G_k=(G_{k+1}/X)/(G_k/X)=G'_{k+1}/G'_k$ est cyclique par hypothèse. Comme $G_1/G_0=G_1=X$ est cyclique, la suite $(G_k)$ est une suite de composition cyclique pour $G$.

Bien vu !

Tu as oublié un dollar en ouverture avant G_1.

Je me répète mais c'est vraiment bien vu le coup de la concaténation des deux suites !

Bonjour,

Egoroff : Comme je l'ai dit dans mon premier post, la démonstration que tu fait dans le post du 08-11-06 à 12:30 ne marche que si G est abélien, sinon X n'est pas forcément distingué. Pour le cas général :

Soit
${e}=G_{0} \subset G_{1} \subset ... \subset G_{n}=G$
une suite de composition abélienne de G (pas nécessairement abélien)
Donc :

$\forall i \in \N , 1 \leq i \leq n \Rightarrow G'_{i} = G_{i} / G_{i-1}$ est abélien

Soit $ {e} = G'_{i,0} \subset ... \subset G'_{i,k_{i}} = G'_{i} $ une suite de composition cyclique de $G'_{i}$ (qui existe d'après le post de egoroff).

L'image reciproque de cette suite par la surjection canonique de $G_{i}$ dans $G'_{i}= G_{i} / G_{i-1}$ donne une suite de composition cyclique de $G_{i}$ vers $G_{i-1}$. On recolle ensuite le tout pour chaque indice $ i $ et on obtient une suite de composition cyclique plus fine que celle qu'on s'était donnée au départ (donc un "raffinement").

Lebesgue