A5

On peut voir par récurrence que $\mathfrak{S}_{5}=$ (qui contient On peut utiliser que $\mathfrak{S}_{5}=$ (qui contient $\mathfrak{A}_{5}$ ) est inclus dans $ $ ,pour l'inclusion réciproque il suffit de remarquer que les elements de $ $ sont tous de signatures positives donc ,il est inclus ds $\mathfrak{A}_{5}$ ...

Je reposte ,le message précedent n'etait pas clair

On peut voir par récurrence que $\mathfrak{S}_{5}=$ .
Comme
$$\mathfrak{A}_{5} \subset mathfrak{S}_{5}\subset $$ alors on a $ \mathfrak{A}_{5} \subset $

Pour l'inclusion réciproque il suffit de remarquer que les elements de $ $ sont tous de signatures positives et c'est donc un sous groupe de $\mathfrak{A}_{5}$ .

Oui c'est vrai désolé ,j'ai voulu allez vite et j'ai confondu $< (12345),(12)(34) >$ et $< (12345),(12),(34) >$!!

Notons H=<(12345),(12)(34)>. Le produit de ces deux générateurs vaut (135) (calcul facile). Ainsi H contient trois éléments d'ordre 5, 2 et 3, respectivement, donc par Lagrange, l'ordre de H doit être un multiple de 30.

Mais H est un sous-groupe de A5 (car les deux générateurs sont dans A5), et A5 ne peut pas avoir de sous-groupe d'ordre 30 (car un tel sous-groupe, d'indice 2, serait normal ; or, A5 est simple). Donc l'ordre de H doit être 60, càd. H=A5.