exo sur S4 Groupe Symétrique

deaks · August 2006

Bonjour à tous,

Je suis en train de préparer mes exams de septembre et je n'arrive pas à trouver de solution à mon problème. Je ne pense pas que cela soit trop difficile, je dois oublier quelques choses je ne sais pas trop. Voila deja l'énoncé :

Pour cet exercice, on se place dans le groupe symétrique S4:
1) Quels sont les ordres possibles des éléments de S4 ?
2) Déterminer tous les éléments d'ordre2, d'ordre3 et d'ordre4
3) Combien y a t il de classes de conjugaison dans S4 ? Quel est le cardinal de chacune de ces classes ?

1) S4 est le groupe symétrique avec 4 éléments { 0 , 1 , 2 , 3 },
et on peut y trouver :
- singleton (1) (2) ... : ordre 1
- permutation (12) .... : ordre 2
- cycle de 3 elements (123) : ordre 3
- produit de 2 permutation (12)(34) : ordre 2

2) si j ai bien compris la question2, il faut faire l'énumération totale de tous les éléments pour chacun des ordres, en les prenant méthodiquement, ca ne devrait pas poser de problemes (si c est bien cela qu il faut faire)

3) par contre pour la question 3, je ne sais pas du tout quoi faire.
je sais que la conjugaison c est de la forme :
soit s $\in$ S4, et g $\in$ S4 on a g.s.$g^-1$ $\in$ S4 (du moins il me semble).

Je ne sais pas du tout comment débuter les recherche et savoir s il y en a un ou plusieurs classes

Merci d'avance pour vos réponses

Kms · August 2006

Les classes de conjuguaisons d'une permutation sont essentiellement associés aux diiférentes possibilités de décompositions en produits de cycles à supports .C'est par définition ,les classes d'équivalence pour la relation de conjuguaisons ou si tu préfères les orbites pour l'opération de $\mathfrak{S}_{n}$ sur lui-même par automorphismes intérieurs.
Pour les classer ,on compte le nombre de $k$-cycles pour $k\leq n$
on utilise ensuite le fait que deux cycles sont conjugués(donc ds la même classe) ssi ils ont même longueur .

Par exemple ds $\mathfrak{S}_{4}$ , les différents classes sont :
1)L'identité qui laissent fixes tous les éléments .

Pour les éléments d'ordre 2:
2)La transposition $(12)$ car les transpositions sont 2à2 conjugués .
3)les doubles produits $(12)(34)$ forment une autre classe .

Pour les elements d'ordre 3:
Les 3-cycles etant tous conjugués ,il n'y a qu'une seule classe et on choisi par exemple $(123)$ comme representant .

Enfin pour les elements d'ordre 4,il n' y a qu'une seule classe ,les 4-cycles etant conjugués on prend $(1234)$ .

Je te donne un resultat pratique : Pour $n\geq3$ ,le nombres de $k$-cycles de $\mathfrak{S}_{n}$ est $\frac{n!}{k(n-k)!}$ ainsi tu n'auras plus besoin de compter à chaque fois .

Pour information le nombres de classes de conjuguaisons ds $\mathfrak{S}_{n}$ est en bijection avec le nombre de partitions de l'entier $n$ via une application qu'on appelle le type ........

OlivierG0 · August 2006

Bonjour,

Tu as oublié les $4$-cycles $(a,b,c,d)$, qui sont des éléments d'ordre $4$ du groupe symétrique $\mathcal{S}_{4}$.
Pour répondre à la question 3), on commence par la remarque suivante (valable pour tout groupe symétrique $\mathcal{S}_{n}$) : si $\gamma=(a_{1},a_{2},...,a_{k})$ est un $k$-cycle, alors pour toute permutation $\sigma$, $\sigma\gamma\sigma^{-1}$ est le $k$-cycle $(\sigma(a_{1}),\sigma(a_{2}),...,\sigma(a_{n}))$.
Je te laisse faire la preuve de cette remarque.
En utilisant la décomposition d'une permutation en produit de cycles disjoints, on en déduit que si $\sigma=\gamma_{1}\gamma_{2}...\gamma_{r}$ avec les $\gamma_{i}$ des cycles disjoints de longueur $l_{i}$, alors toute permutation conjuguée à $\sigma$ s'écrira sous la forme $\sigma'=\gamma'_{1}\gamma'_{2}...
\gamma'_{r}$ avec les $\gamma'_{i}$ des cycles disjoints de longueur $l_{i}$. C'est ce qu'on appelle parfois le {\bf principe de conjugaison}.

Cette remarque étant faite, tu dois maintenant pouvoir trouver facilement le nombre de classes de conjugaisons de $\mathcal{S}_{4}$.

Amicalement.

Olivier.

deaks · August 2006

Tout d'abord merci à OlivierG et à Kms, ca ma beaucoup aidé à refléchir.
 
 Donc si j ai bien compris comment, il fallait procéder (du moins je l espere), pour trouver les classes de conjugaison dans S4, il faut que je recherche alors tous les differents types de S4.
 
 Ce qui donnerait alors :
 - (4 , 0 , 0 , 0) (ca représenterait id non ?)
 - (2 , 1 , 0 , 0) = (12)
 - (0 , 2 , 0 , 0) = (12)(34)
 - (1 , 0 , 1 , 0) = (123)
 - (0 , 0 , 0 , 1) = (1234)
 ( le signe = est juste un exemple de représentant )
 
 Ensuite le nombre de cardinal de chacun de ces classes seraient alors :
 1er) 1
 2nd) le nombre de permutations differentes pour 4 elements
 3em) le nombre de produit de permutations differentes
 4eme) le nombre de 3-cycles
 5eme) le nombre de 5-cycles.
 
 
 Maintenant si mon raisonnement est juste ... pour chercher les classes de conjugaisons de A5, ma méthode serait d abord de chercher les types de S5, puis de regarder la signature de chacun des types, ce qui donnerait alors :
 
 Pour classe de conjugaison d'A5 :
 - id
 - (0 , 2 , 0 , 0 , 0) = (12)(34)
 - (0 , 0 , 1 , 0 , 0) = (123)
 - (0 , 0 , 0 , 0 , 1) = (12345)
 
 ce qui donnerait alors pour A5 4 classes de conjugaisons différentes, mais d apres mon cours, il y en aurait 5 à cause de quelques choses avec l ordre 5 où je n ai aucune explication
 
 Quelqu'un aurait des idées à ce sujet ?

Clé · August 2006

Bonjour,

Je trouve comme toi 4 classes de conjugaison dans A5 ( et 7 dans S5).

Comme le dit Kms, pour trouver le nombre de classes dans Sn tu peux compter le nombre de partitions de l'entier n. C'est-à-dire, compter de combien de manière tu peux l'écrire sous la forme de sommes.

Exemple :
5 = 1+1+1+1+1 classe de id = (1)(2)(3)(4)(5)
= 2+2+1 (ab)(cd)(e)
= 2+3 (ab)(cde)
= 2+1+1+1 (ab)(c)(d)(e)
= 3+1+1 (abc)(d)(e)
= 4+1 (abcd)(e)
= 5 (abcde)

Ce qui donne 7 classes dans S5, et en enlevant les classes d'éléments impairs ça en donne 4 si je ne me trompe pas.

(effectivement ce que tu notes (4,0,0,0) doit correspondre à (1)(2)(3)(4)=id. )

Clé · August 2006

Oups, j'ai fait une erreur !

J'ai vu dans" Exercices d'algèbre" de Ortiz que il y a effectivement 7 classes de conjugaison dans S5, mais il y en a bel et bien 5 (et pas 4) dans A5.

En effet, dans S5 la classe de (12345) comporte 24 éléments, mais ces 24 éléments ne forment pas une même classe de conjugaison dans A5, car 24 ne divise pas l'ordre de A5 (60).

Dans A5 il y a donc 2 classes d'ordre 12 représentées chacune par un élément d'ordre 5 : la classe de (12345) et la classe de (21345).

Du coup il y a 5 classes de conjugaison dans A5.

deaks · August 2006

Merci Clé, je comprend maintenant pourquoi il y a 2 classes pour les elements d'ordre 5. Donc quand on recherche les classes, il faut mieux directement chercher les nombres d elements et les comparer s ils divisent le nombre total.
 
 Sinon encore une petite question:
 - je suis tout a fait d accord qu une des deux classes comportent l'élément (12345)
 - mais pourquoi le représentant de la seconde classe serait alors (21345) ?

Clé · August 2006

Regardons ce qu'est un conjugué de (12345) : il est de la forme $\sigma(12345)\sigma^{-1}=(\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3)\sigma(4)\sigma(5))$
Où $\sigma$ est dans $A_5$, on a 60 conjugués (pas tous distincts) mais en fait 12 car $(ijklm)=(jklmi)=(klmij)=(lmijk)=(mijkl)$ (ok ?).
la classe de conjugaison de $(12345)$ est donc de cardinal 12 et comme $(21345)$ n'est pas dans la classe de $(12345)$ (pour passer de l'un à l'autre on conjugue par une transpo), la classe de conjugaison de $(21345)$ nous donne la seconde classe de conjugaison et c'est terminé.

deaks · August 2006

Merci Clé, je viens de comprendre une erreur que je faisais en lisant tes explications. Je confondais une composition avec une permutation et la conjugaison. La premiere donnait une signature -1 (et donc n appartenait plus a A5) et la seconde une signature de 1 (donc appartient à A5)

Merci encore pour toutes ces explications, j ai enfin compris comment ca fonctionne ces classes de conjugaison dans Sn

Michiel Vermeulen · August 2006

Kms,

Ta formule pour le nombre de k-cycles dans $S_n$ n'est pas correcte. Ta formule donne le nombre de sous-ensembles de k élements dans un ensemle de n elements.

Michiel

Kms · August 2006

Salut michel , si tu regardes bien ma formule j'ai écrit
${\ nb de k-cycles \}= \frac{n!}{k(n-k)!}= (k-1)! \mathcal(C)_{n}^{k}$
et non pas $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ qui represente le coefficient binomial .

Kms · August 2006

Salut michel , si tu regardes bien ma formule j'ai écrit :
{ nb de k-cycles }= $ \frac{n!}{k(n-k)!}= (k-1)! \mathcal{C}_{n}^{k}$
et non pas $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ qui represente le coefficient binomial .

Michiel Vermeulen · August 2006

Excuse-moi, tu as raison. Michiel

Kms · August 2006

Au temps pour moi ,j'aurais du écrire $(k-1)! \mathcal{C}_{n}^{k}$ ,au lieu de ma formule en rikiki qui faisait penser à l'allure d'un coeff binomial si on n'y prêtait vaguement attention .
Merci ,Michiel (moi aussi je n'avais pas remarquer le i et je confondais ton Prénom avec Michel ,comme quoi...)

exo sur S4 Groupe Symétrique

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