Vecteurs propres

bon je te réponds... a tout hasard...

$ det(A- \lambda Id_3)=det \begin{pmatrix}
k-\lambda & -k & 0\\
-k & 2k-\lambda & -k\\
0 & -k & k-\lambda
\end{pmatrix} $

tu fais L1+L2+L3=L1 et tu obtiens
$ det(A- \lambda Id_3)=det \begin{pmatrix}
-\lambda & -\lambda & -\lambda\\
-k & 2k-\lambda & -k\\
0 & -k & k-\lambda
\end{pmatrix} =- \lambda det\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
-k & 2k-\lambda & -k\\
0 & -k & k-\lambda
\end{pmatrix}$

après il me semble que c'est du calcul... mais je dois me tromper, ce ne doit pas etre ta question

Eva

Bonsoir Follium

Soit $A$ ta matrice.
Puisque la somme des 3 colonnes de $A$ est nulle, ta matrice est singulière, donc 0 est valeur propre, de vecteur propre correspondant $(1,1,1)$ ; (somme des 3 colonnes nulle).
D'autre part $k$ est aussi valeur propre car la matrice $A-kI$ a les 1ère et 3èmes colonnes identiques, donc le vecteur propre associé est $(1,0,-1)$
La somme des valeurs propres est $tr(A)=4k$, la 3ème valeur propre est donc $3k$. Effectivement dans la matrice $A-3kI$ la somme des 1ère et 3ème colonnes est égale à 2 fois la 2ème colonne, donc le vecteur propre associé est $(1,-2,1)$

Va voir WWIMS Calculatrice de matrice pour confirmation.

Alain