Sous-anneau

Bonsoir Guimauve

Tu nommes $\Z_p = \left\{\frac{\alpha}{\beta}\mid \alpha,\beta\in \Z,\ \beta\neq 0,\ \mathrm{pgcd}(\beta,p)=1\right\}$
Soit $x\in \Q\setminus \Z_p$, alors $x=\dfrac{a}{bp^k}$ avec $\mathrm{pgcd}(b,p)=1,\ k\in \N^*$.
On a $a\neq 0$ (sinon $x=0\in \Z_q$ ) et on peut supposer $\mathrm{pgcd}(a,p)=1$ sinon on peut simplifier, et on obtient un $k$ plus petit.
On veut montrer que $\Z_p[x]$, le plus petit anneau contenant $\Z_p$ et $x$, est $\Q$.
Comme tu l'indiques, il faut (et il suffit) de montrer que $\frac{1}{p}\in \Z_p[x]$
$a$ n'est pas nul et est premier avec $p$, alors $\frac{p^{k-1}b}{a} \in \Z_p$ et donc $\frac{p^{k-1}b}{a}\cdot x \in \Z_p[x]$ (stabilité du produit dans $\Z_p[x]$ ).
C'est à dire $\frac{1}{p} \in \Z_p[x]$. Ce qu'on voulait démontrer.

Alain

Qu'Alain soit "trop fort", tu as parfaitement raison, et cela ne faut aucun doute.

En revanche, ton anneau se note en général $\Z_{(p)}$ (pour ne pas le confondre avec l'anneau des entiers $p-$adiques).

Rappelons, à toutes fins utiles, que $\Z_{(p)}$ est un sous-anneau local de $\Q$ contenant $\Z$ et d'(unique) idéal maximal $p \Z_{(p)}$. Les éléments de cet anneau s'appelent parfois les {\it $p-$entiers}. Enfin, $\Z_{(p)} / p \Z_{(p)} \simeq \mathbb {F}_p$.


Borde.

Oui, mais on utilise plus les $p-$adiques grâce à leur(s) polyvalence(s) plus grandes.

En revanche, lors de l'étude et "l'acquisition" pédagogique des $p-$adiques, les $p-$entiers constituent une passerelle appréciable.

Borde.

Merci bien