popriété du déterminant

bonjour j'ai fait des erreurs dans le latex de mon message précedent voici ,ce que je veut dire
on sait que l'application :
$$\varphi:M_n(\R)->\R M->det(M)$$ est continue car multilinière , alors :
$\ \exists C>0 \forall M\in M_n(\R) |det(M)|

Je suis désolé mon raisonnement est juste l'application étant multilinéaire, je ne sais pas quoi dire.

Pour compléter ce qu'a fait Bruno, j'ajouterais que le determinant en question représente le volume que l'on sait, et donc d'un point de vue géométrique l'inégalité paraît naturelle.

Bonjour yoo.

Tout d'abord, P.Fradin a rappelé la réalité géométrique qu'exprime ce résultat : parmi tous les (hyper)volumes ayant des arêtes toutes de même longueur, le (l 'hyper)cube est celui de volume maximum.

Ensuite, j'aurais sans doute du fignoler un peu plus ma justification.

La démonstration du résultat qui te pose problème repose, comme je l'ai écrit, sur le procédé d'orthogonalisation de (Gramm-)Schmidt. Le connais-tu ? Dans le cas contraire, en voici l'énoncé :
\begin{quote}
{\it Étant donnée une base orientée $\mathcal B = (a_1,...,a_n)$ d'un espace vectoriel euclidien de dimension $n\ E$, il existe une base orthonormée orientée $\mathcal B' = (e_1,...,e_n)$ telle que, pour tout entier $i \in \{1,...,n\}$ les vecteurs $(a_1,...a_i)$ et les vecteurs $(e_1,...,e_i)$ engendrent le même sous-espace de $E$ et vérifiant de plus, pour tout~$i,\ (a_i|e_i) > 0$.}
\end{quote}
Partons donc d'une base orthonormée orientée $\mathcal B = (a_1,...,a_n)$ et soit $\mathcal B' = (e_1,...,e_n)$ la base orthonormée orientée obtenue par la méthode de Gramm-Schmidt.

Pour tout entier $i \in \{1,...,n\}$, puisque ma base $\mathcal B'$ est orthonormée, on a :
$$a_i = \sum_{j=1}^n(a_i|e_j)\,e_j$$
d'après le propriété de Schmidt, $a_i$ appartient au sous-espace engendré par les vecteurs $(e_1,...,e_i)$ donc :$$a_i = \sum_{j=1}^{j=i}(a_i|e_j)\,e_j$$ pour tout $j \in\{1,...,i\}$ l'inégalité de Schwartz nous donne $|(a_i|e_j)| \leq \|a_i\|\ldotp \|e_j\| = 1$. Ce produit scalaire est un cosinus puisque c'est le produit scalaire de deux vecteurs unitaires et il existe un unique réel $\theta_i \in\left[0,\dfrac \pi 2\right[$ tel que $(a_i|e_i) = \cos\theta_i$ ; notons que $(a_1|e_1) = 1$ et que $\theta_1 = 0$.
En appliquant le caractère multilinéaire alterné du déterminant, je te laisse te convaincre que l'on a:$$\begin{array}{rcl}\det(a_1,...,a_n) &= &\det\left(e_1,\cos\theta_2\,e_2 + (a_2|e_1)\,e_1,...,\cos\theta_i\,e_i + \sum_{j=1}^{i-1}(a_i|e_j)\,e_j,...,\cos\theta_n\,e_n + \sum_{j=1}^{n-1}(a_n|e_j)\,e_j\right) \\ &= &\left(\prod_{i=2}^n\cos\theta_i\right)\det(e_1,...e_n).\end{array}$$
D'où la formule, avec des cosinus tous positifs au lieu de sinus tous positifs ; mais un cosinus n'est jamais qu'un sinus qui s'ignore.

Bruno

Merci Bruno pour tes explications si claires et détailles, difficile de rajouter quoi que ce soit après celà, mais j'ose toute fois proposer modestement une autre approche, moins logique peut-être.\\\\On définit pour un système $(x_1, .., x_n)$ son determinant de Gram comme le déterminant de la matrice $G$ de terme général $$. Si on note A la matrice des coordonées des vecteurs du système dans une base orthogonale alors G s'écrit $G=transposée(A)A$. \\On peut montrer par recurrence (en utilisant le fait que le determinant de Gram est inchangé si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres) que le determiant (notons le g) vérifie:
\[g(x_1, x_2, .., x_n) \leq g(x_1)g(x_2)..g(x_n) \]
le cas d'égalité ayant lieu lorsque la famille est orthogonale. Ainsi comme $det\,G=(det\,A)^2$ et que $g(x_i)=$, on obtient bien l'inégalité attendue.\\\\Je dois pouvoir détailler l'obtention de l'inégalitée en faisant marcher ma mémoire mais je ne suis pas si sur qu'elle ne revienne pas à une sorte de Gram-Schmdit masqué à vrai dire.

Hum... L'orthogonalisation de Gram-Schimdt est trop attractive. Il est clair que la relation est valable pour un système de vecteurs deux à deux orthogonaux ; donc j'orthogonalise.

Bruno

Vouais... :-)

Merci,

Bruno

Je propose un raisonnement par récurrence, pour $n=1$ il n'y a rien à démontrer, supposons l'inégalité vraie au rang $n-1$:
$$[v_1,\ldots,v_{n-1}]\leq \|v_1\|\times\cdots\times\|v_{n-1}\|$$

Au rang $n$: il est possible de trouver une base orthonormée directe dans la laquelle la matrice de la famille $(v_1,\ldots,v_n)$ soit de la forme:
$$A=\begin{pmatrix}
*&\cdots&*&*\\
\vdots&&\vdots&\vdots\\
*&\cdots&*&*\\
0&\cdots&0&\alpha\end{pmatrix}$$

d'où $[v_1,\ldots,v_n]=\det(A)=[v_1,\ldots,v_{n-1}]\times\alpha$, or $|\alpha|\leq \|v_n\|$. Le résultat en découle d'après l'hypothèse de récurrence.

{\bf qu'elle resultat prouve l'existance d'une base orthonormée ou la matrice aura cette forme?}

Il suffit de prendre une base othonormale d'un hyperplan contenant $v_1,\ldots,v_{n-1}$ et d'ajouter un vecteur unitaire normal à cet hyperplan de telle sorte que l'on ait une base directe.

Bruno

dans le procédé orthonormalisation de Gram Schmidt la base que l'on veut orthonormer n'est pas forcément orientée !!!?

Je m'y perds un peu là :

Orienter l'espace c'est choisir une orientation c'est à dire choisir une des deux classes de l'ensemble des bases
où la relation d'équivalenve est : deux bases sont dans la même classe ssi leur déterminant est de même signe

Alors qu'est-ce que orienter une base (ou une base orientée) ??

Merci

c'est limpide Bruno merci


ps:sacré pedagogue quand même;)