Groupe opérant et isomorphisme de groupe

Bonjour à tous

Cela fait quelques jours que je bloque sur un exercice, alors je me suis dit que je pourrais vous le proposer. J'ai eu quelques problèmes. Tout d'abord, je ne comprends pas du tout le lien entre la question (1) et la question (2), ensuite je ne trouve pas l'isomorphisme qui permet de résoudre la partie (2). Je vous laisse tout d'abord lire l'énoncé :

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Soit K un corps. Le groupe GL(2;K) opère naturellement sur l'espace vectoriel K^2. ( c'est à dire A.X = AX )
(1) Combien cette opération a-t-elle d'orbites ?
(2) On suppose désormais que K = Z/2Z, c'est à dire que K a deux éléments. Combien d'éléments non nuls y a-t-il dans K^2 ? Montrer que le groupe GL(2,K) opère sur un ensemble à trois éléments, de façon que l'application GL(2,K) -> S3 soit un isomorphisme de groupes.

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(1) Pour la première question, en m aidant un peu de mon cours, je suis arrivé à la conclusion, que cette opération a deux orbites :
- K \ {0}
- {0}

(2) - En supposant que K = Z/2Z, on trouve facilement que K^2 comporte 4 éléments : (0, 0 ); (0, 1 ); (1, 0) et (1, 1). Donc on aurait alors 3 éléments non nuls dans K^2

- Voilà ensuite le problème, on cherche à montrer que GL(2, Z/2Z) opère sur un ensemble à 3 éléments sachant aussi que GL(2, Z/2Z) opère naturellement sur Z/2Z x Z/2Z donc un ensemble à quatre éléments.

J'ai directement pensé
- qu'un groupe à 3 éléments ( donc Z/3Z ) on peut trouver un isomorphisme vers S3
- qu'un groupe à 4 éléments (ici pour Z/2Z x Z/2Z ) on peut trouver un isomorphisme vers S4

Donc il resterait alors à montrer l'existence d'un isomorphisme de S4 vers S3, mais malheureusement, il n existe qu'un homomorphisme surjectif, ce qui fait que l'idée n'est pas utilisable.

La seconde idée serait d'utiliser les orbites, comme dans l'orbite {0} il n'y a que l'élément (0, 0) et que dans la seconde Z/2Z \ {0}, il y aurait alors 3 éléments et donc une possibilité de trouver un isomorphisme vers S3. Mais je n'ai aucune idée de comment m'orienter si le raisonnement est juste et si celui-ci est faux, je ne sais pas du tout comment faire.

Merci pour votre aide.