Corps parfaits
Bonjour,
Je coince pour montrer qu'une extension algèbrique d'un corps parfait est encore un corps parfait. Je sais qu'un corps est parfait ssi l'homomorphisme de Frobenius est un automorphisme, mais je ne comprends pas pourquoi cette propriété "passe" à l'extension algèbrique.
Je me suis demandé plus généralement la chose suivante :
Soit E/K une extension algèbrique. Soit f un homomorphisme de E tel que f restreint à K va dans K et est un automorphisme de K.
Est-ce que f est lui-même un automorphisme ?
Je sais que la réponse est oui si f est un K-homomorphisme, mais sinon...
Merci beaucoup.
Lebesgue
Je coince pour montrer qu'une extension algèbrique d'un corps parfait est encore un corps parfait. Je sais qu'un corps est parfait ssi l'homomorphisme de Frobenius est un automorphisme, mais je ne comprends pas pourquoi cette propriété "passe" à l'extension algèbrique.
Je me suis demandé plus généralement la chose suivante :
Soit E/K une extension algèbrique. Soit f un homomorphisme de E tel que f restreint à K va dans K et est un automorphisme de K.
Est-ce que f est lui-même un automorphisme ?
Je sais que la réponse est oui si f est un K-homomorphisme, mais sinon...
Merci beaucoup.
Lebesgue
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Réponses
Il s'agissait en fait d'un exo, et vu l'enchainement des questions, je n'ai même pas pensé à repasser par la définition, au lieu de ça j'ai cherché à utiliser la caractérisation avec Frobenius.