Extensions cycliques
Bonjour,
Je voudrais avoir confirmation d'un énoncé concernant les extensions cycliques :
Je lis dans "Corps et théorie de Galois" de Guin la chose suivante :
Soit E/K une extension cyclique de degré n contenant les n racines de l'unité. Alors il existe a dans K tel que E soit un corps de décomposition de X^n - a.
Je ne comprends pas pourquoi on a le droit d'appliquer le théorème Hilbert 90 à E/K car cette extension n'est pas a priori normale.
Merci
Je voudrais avoir confirmation d'un énoncé concernant les extensions cycliques :
Je lis dans "Corps et théorie de Galois" de Guin la chose suivante :
Soit E/K une extension cyclique de degré n contenant les n racines de l'unité. Alors il existe a dans K tel que E soit un corps de décomposition de X^n - a.
Je ne comprends pas pourquoi on a le droit d'appliquer le théorème Hilbert 90 à E/K car cette extension n'est pas a priori normale.
Merci
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Réponses
A confirmer quand meme
Joaopa
Pour moi, une extension cyclique est une extension dont le groupe de Galois est cyclique.
J'ai remarqué mon erreur en me rappelant du théorème de KW : Toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique. Ainsi, si "abelienne" signifiait simplement "dont le groupe de Galois est abélien" on aurait le théorème :
Gal(E/K) abélien -> E/K galoisienne (car toute sous-extension est galoisienne, le groupe de Galois étant abélien)
Ce qui est très idiot (ex : Q(2^(1/3)) )
Lebesgue
Borde.
Lebesgue
Nous avons déjà eu cette discussion avec Omar, il y a quelques temps. Il ne faut pas confondre groupe de Galois d'une extension avec extension galoisienne (resp. abélienne, cyclique) d'un corps de nombres.
Borde.