espaces supplémentaires et projecteurs

yoo · August 2006

Bonjour, j'ai un petit exercice qui me pose un problème voici l'enoncé :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu'un sous-espace vectoriel U de E admet deux supplémentaires V et W. Soit p la projection sur V parallélement à U
Montrer que p définit un isomorphisme de W sur V
Merci d'avance

cordwainer · August 2006

Bonsoir
V et W sont de même dimension finie dimE-dimU, donc il suffit de prouver que p est injective :
Soit x dans W tel que p(x)=0. Alors x est dans U. Or l'intersection de U et W est réduite à 0, donc x=0.

yoo · August 2006

j'ai une petite question un peu bête mais bon, losqu'on dit qu'un sous espace U de E admet un supplémentaire W ? est ce que cela veut dire que U et W sont en somme directe et leurs somme et bien E ou U et W sont en somme directe sans aucune idée sur l'espace obtenu en faisant cette somme
merci d'avance

naos · August 2006

Oui : Si $V \subset E$ et $W \subset E$, alors $V$ et $W$ sont en somme direct si $E = W+V$ et $V \cap W = \{0\}$

Cordialement

yoo · August 2006

Vous ne m'avez pas compris normalement losqu'on parle de supplémentaire on parle de supplémentaire dans un espace. Mais dans l'énoncé de l'exercice on dit seulement supplémentaire et c'est cela qui me gène
Merci

bisam · August 2006

Quand on dit supplémentaires sans précision cela veut juste dire que l'on a éludé le fait qu'ils sont supplémentaires dans l'espace E tout entier. Il faut bien sûr pour cela qu'il n'y ait pas d'ambiguité possible sur le choix de E.

espaces supplémentaires et projecteurs

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