Aux as de la théorie de Galois

$\Q$ étant dans $\C$, on peut appliquer le théorème de l'élément primitif.

Pour moi, le plus simple est d'utiliser les degrés :

$[L:\Q] =n$ si $\K$ est un corps intermédiare, on a $[L:\K][K:\Q] =[L:\Q]$
(c'est en gros la même idée que Lebesgue).

Sauf erreur.

Airy.

Pour répondre précisément à la question de départ, étant donnée une extension finie $L/K$, on a l'équivalence :
(i) $L/K$ est monogène, i.e. il existe $a \in L$ tel que $L = K(a)$ ;
(ii) l'ensemble des extensions intermédiaires de $L/K$ est fini.

(i) => (ii) C'est ce qu'a dit Lebesgue : on considère $a \in L$ qui engendre $L/K$ (il est fixé une bonne fois pour toutes). Puis on observe que l'application qui à une extension intermédiaire $F$ associe le polynôme minimal $P_F$ de $a$ sur $F$ est injective. D'où le résultat puisqu'il n'existe qu'un nombre fini de diviseurs de $P_K$. Pour voir l'injectivité, il suffit d'observer que la sous-algèbre engendrée par les coefficients de $P_F$ est précisément $F$, ce qui se fait par des considérations sur les degrés...

(ii) => (i) : on écarte le cas où $K$ est fini, dans lequel toutes les extensions finies de $K$ sont monogènes (en plus ici, on s'intéresse à $K = \Q$...).
On peut donc supposer $K$ infini, et utiliser que le $K$-espace vectoriel $L$ n'est pas réunion d'un nombre fini de sous-espaces propres (exercice classique). On en déduit, d'après l'hypothèse, l'existence de $a \in L$ n'appartenant à aucune sous-extension propre de $L$, ie tel que $L = K(a)$.

Zo.

Zo.

Pour Alain Debreil : Je ne vois pas quel est le problème, j'ai bien spécifié que je traitais le cas monogène, l'élément primitif est donc choisi a l'avance, pas au cours de la démonstration.

Lebesgue

On se sert egalement du resultat enonce par Zo pour montrer que k[X,Y] est une extension finie mais non simple de k (corps infini).