Si jamais c'était le cas, il faudrait que le produit des ordres de $N$ et $H$ soit égal à $8$ d'où l'on déduit que $N$ ou $H$ est d'ordre $2$ i.e. est le centre de $H_8$. Par ailleurs $N\cap H$ est trivial mais tous les sous groupes de $H_8$ contiennent son centre $\{\pm 1\}$.
$\mathbb{H}_8$ admet un unique sous-groupe d'ordre 2. Tout sous-groupe non trivial le contient donc. C'est à dire que l'intersection de 2 sous-groupes quelconques le contiendra, donc l'intersection ne peut pas être $\{1\}$. Ainsi pas de produit direct ni semi-direct.
Voilà en fait j'avais regardé dans le Perrin mais j'ai pas trop compris :
> si $|N|=4$ alors $H=\Z/2\Z$ et comme $-1\in N$ il n'y a pas de section.
En quoi le fait qu'il n'y ait pas de section prouve que l'on n'a pas de produit semi-direct ?
Perrin nous dit 2 pages avant que lorsqu'on a une suite exacte $1\to N\to G\to H\to 1$ avec l'existence d'une section de $p$ (où $p$ est le morphisme correspondant à la troisième flèche), alors $G$ est isomorphe à un produit semi-direct de $N$ par $H$. Mais c'est là seulement une condition suffisante pour avoir un produit semi-direct. Non ?
Il y a équivalence entre produit semi-direct et extension scindable.
Si $G=N\rtimes H$ produit semi-direct et $p: G\rightarrow G/N$ canonique, alors l'isomorphisme $G/N \xrightarrow[\simeq]{\ \phi\ } H$ est tel que $p\circ\phi = \sigma $ est un automorphisme de $G/N$. La section recherchée est alors $\phi\circ \sigma^{-1}$.
Dans l'autre sens si $s : G/N \rightarrow G$ est une section, $p\circ s= id_{G/N}$, alors $H=s(G/N)$ vérifie :
$N.H = G$ et $ p(N \cap H) = \{1\}$ donc par la section (qui est injective) $N \cap H = \{1\}$.
Finalement $G$ est le produit semi-direct $N\rtimes H$.
Si on part de groupes $N, H$ quelconques, on définit le produit semi-direct par un morphisme $u : H \rightarrow Aut(N)$.
Alors on forme le produit cartésien (d'ensembles) $G= N \times H$ que l'on munit de la loi de composition : $$(n,h)\star(n',h') = (n.u(h)(n'), h.h')$$ Alors on peut identifier $H$ et $\{1\}\times H$ par l'injection canonique, qui est précisément la section recherchée.
Sinon, on ne peut pas définir une section entre 2 groupes quelconques, il faut définir l'extension $1\to N \xrightarrow{i} G \xrightarrow{p} H \to 1$ qui est alors supposée avoir une section $s: H \rightarrow G$.
Alors $i(N)$ et $s(H)$ sont des sous-groupes de $G$ tels que $G=i(N)\rtimes s(H)$.
Si on a un produit semi-direct $G=N\rtimes_\varphi H$, on a alors une suite exacte :
$1\to N\to N\rtimes_\varphi H\to H\to 1$
avec $i:n\mapsto(n,1)$ injective, $p:(n,h)\mapsto h$ surjective, telles que $Im(i)=Ker(p)$.
Ne suffit-il pas alors de prendre comme section l'application $s:H\to N\rtimes_\varphi H$ telle que $s(h)=(1,h)$ ?
Bien sûr il faut vérifier que $s$ est un morphisme :
$s(h.h^\prime)=(1,h.h^\prime)$ et $(1,h)\star (1,h^\prime)=(\varphi(h)(1),h.h^\prime)=(1,h.h^\prime)$.
Je dis pas trop de bêtises ?
Je n'ai pas le Perrin, il m'est donc difficile de répondre, toutefois dans
« Critère de décomposition en produit semi-direct »
je vois décomposition, ce qui suppose qu'on a un groupe G que l'on essaie de décomposer selon deux sous-groupes. Non ?
Dans ce cas, le critère est : 2 sous-groupes d'intersection triviale, dont le produit est G et dont l'un est distingué dans G.
Réponses
Si jamais c'était le cas, il faudrait que le produit des ordres de $N$ et $H$ soit égal à $8$ d'où l'on déduit que $N$ ou $H$ est d'ordre $2$ i.e. est le centre de $H_8$. Par ailleurs $N\cap H$ est trivial mais tous les sous groupes de $H_8$ contiennent son centre $\{\pm 1\}$.
Efji
$\mathbb{H}_8$ admet un unique sous-groupe d'ordre 2. Tout sous-groupe non trivial le contient donc. C'est à dire que l'intersection de 2 sous-groupes quelconques le contiendra, donc l'intersection ne peut pas être $\{1\}$. Ainsi pas de produit direct ni semi-direct.
Alain
si $|N|=4$ alors $H=\Z/2\Z$ et comme $-1\in N$ il n'y a pas de section.
Si $|N|=2$; $H_8/N = V_4$ mais $H_8$ n'a pas de sous groupe isomorphe à $V_4$
Pourquoi ?
> si $|N|=4$ alors $H=\Z/2\Z$ et comme $-1\in N$ il n'y a pas de section.
En quoi le fait qu'il n'y ait pas de section prouve que l'on n'a pas de produit semi-direct ?
Perrin nous dit 2 pages avant que lorsqu'on a une suite exacte $1\to N\to G\to H\to 1$ avec l'existence d'une section de $p$ (où $p$ est le morphisme correspondant à la troisième flèche), alors $G$ est isomorphe à un produit semi-direct de $N$ par $H$. Mais c'est là seulement une condition suffisante pour avoir un produit semi-direct. Non ?
Il y a équivalence entre produit semi-direct et extension scindable.
Si $G=N\rtimes H$ produit semi-direct et $p: G\rightarrow G/N$ canonique, alors l'isomorphisme $G/N \xrightarrow[\simeq]{\ \phi\ } H$ est tel que $p\circ\phi = \sigma $ est un automorphisme de $G/N$. La section recherchée est alors $\phi\circ \sigma^{-1}$.
Dans l'autre sens si $s : G/N \rightarrow G$ est une section, $p\circ s= id_{G/N}$, alors $H=s(G/N)$ vérifie :
$N.H = G$ et $ p(N \cap H) = \{1\}$ donc par la section (qui est injective) $N \cap H = \{1\}$.
Finalement $G$ est le produit semi-direct $N\rtimes H$.
Alain
Mais dans ce que me propose Alain, $H$ et $N$ sont des sous-groupes de $G$, et pas des groupes quelconques ?
Si on part de groupes $N, H$ quelconques, on définit le produit semi-direct par un morphisme $u : H \rightarrow Aut(N)$.
Alors on forme le produit cartésien (d'ensembles) $G= N \times H$ que l'on munit de la loi de composition : $$(n,h)\star(n',h') = (n.u(h)(n'), h.h')$$ Alors on peut identifier $H$ et $\{1\}\times H$ par l'injection canonique, qui est précisément la section recherchée.
Sinon, on ne peut pas définir une section entre 2 groupes quelconques, il faut définir l'extension $1\to N \xrightarrow{i} G \xrightarrow{p} H \to 1$ qui est alors supposée avoir une section $s: H \rightarrow G$.
Alors $i(N)$ et $s(H)$ sont des sous-groupes de $G$ tels que $G=i(N)\rtimes s(H)$.
Est-ce plus clair maintenant ?
Alain
Et comme $i$ et $s$ sont des injections, on identifie $N$ et $i(N)$ ainsi que $H$ et $s(H)$, et on se retrouve avec $N,H$ sous-groupes de $G$
Si on a un produit semi-direct $G=N\rtimes_\varphi H$, on a alors une suite exacte :
$1\to N\to N\rtimes_\varphi H\to H\to 1$
avec $i:n\mapsto(n,1)$ injective, $p:(n,h)\mapsto h$ surjective, telles que $Im(i)=Ker(p)$.
Ne suffit-il pas alors de prendre comme section l'application $s:H\to N\rtimes_\varphi H$ telle que $s(h)=(1,h)$ ?
Bien sûr il faut vérifier que $s$ est un morphisme :
$s(h.h^\prime)=(1,h.h^\prime)$ et $(1,h)\star (1,h^\prime)=(\varphi(h)(1),h.h^\prime)=(1,h.h^\prime)$.
Je dis pas trop de bêtises ?
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<BR>« Alors on peut identifier <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/15/95099/cv/img1.png" ALT="$ H$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="61" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/15/95099/cv/img2.png" ALT="$ \{1\}\times H$"></SPAN> par l'injection canonique, qui est précisément la section recherchée. »
<BR>dit exactement celà.
<BR>
<BR>Alain<BR>
Je n'ai pas le Perrin, il m'est donc difficile de répondre, toutefois dans
« Critère de décomposition en produit semi-direct »
je vois décomposition, ce qui suppose qu'on a un groupe G que l'on essaie de décomposer selon deux sous-groupes. Non ?
Dans ce cas, le critère est : 2 sous-groupes d'intersection triviale, dont le produit est G et dont l'un est distingué dans G.
Alain
Merci à tous pour vos réponses.