Je suis pas sur que la reponse soit "joli' vu qu'on a deja l' ensemble des n tels que il n' y ait qu' un seul groupe d' ordre n qui est inclus dedans et j'avais vu une fois ici que c'etait pas facile a exprimer.
Mais peut-etre que je suis pessimiste
Il y a une condition assez pénible qui porte sur la décomposition en facteurs premiers qu'on pourra trouver dans la RMS ou le Ortiz d'exercices d'algèbre.
Peut-être t'en dirai-je plus si tu te mets à respecter les règles élémentaires de politesse, à moins que quelqu'un de plus patient que moi ne s'y colle.
Pour qu'un groupe d'ordre $n$ soit commutatif, je dirais que :
Si $n=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}\ldots p_k^{a_k}$, alors pour tout $i,\ 1\leq a_i\leq 2$ et $\mathrm{pgcd}(\varphi(p_1p_2\ldots p_k), n) = 1$.
C'est une condition nécessaire, car sinon on peut construire un groupe d'ordre $n$ qui n'est pas commutatif.
Pour montrer que la condition est suffisante, je pense que la démo de Gaétan Chenevier (voir le lien) devrait s'adapter (je n'y ai pas trop réfléchi)
Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Mais peut-etre que je suis pessimiste
Peut-être t'en dirai-je plus si tu te mets à respecter les règles élémentaires de politesse, à moins que quelqu'un de plus patient que moi ne s'y colle.
--
Ludo
(À Clémentine, pour toujours)
Récemment on a parlé sur le forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,177896,177896#msg-310494
de la CNS pour qu'un groupe d'ordre $n$ soit cyclique. Cette condition est $$\mathrm{pgcd}(\varphi(n),n)=1$$ où $\varphi$ est l'indicatrice d'Euler.
Pour qu'un groupe d'ordre $n$ soit commutatif, je dirais que :
Si $n=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}\ldots p_k^{a_k}$, alors pour tout $i,\ 1\leq a_i\leq 2$ et $\mathrm{pgcd}(\varphi(p_1p_2\ldots p_k), n) = 1$.
C'est une condition nécessaire, car sinon on peut construire un groupe d'ordre $n$ qui n'est pas commutatif.
Pour montrer que la condition est suffisante, je pense que la démo de Gaétan Chenevier (voir le lien) devrait s'adapter (je n'y ai pas trop réfléchi)
Alain