déterminant sur un anneau

Bonjour bisounours.

Sauf erreur de ma part, c'est la même définition que pour les matrices sur un corps. Bref si $A$ n'est pas de caractéristique $2$, tu peux démontrer comme pour le cas d'un corps qu'il n'existe qu'une seule forme $n$-linéaire alternée sur le $A$-module libre $A^n$ qui prenne la valeur $1$ sur la base canonique naturellement orientée.

Tu en déduis le déterminant de $n$ vecteurs relativement à cette base, et le déterminant d'une matrice carrée d'ordre $n$ c'est le déterminant de ses vecteurs lignes ou colonnes.

Bruno

Tu peux aussi définir le déterminant d'une matrice $M = (a_{i,j}) \in M_n(A)$ à coefficients dans un anneau commutatif $A$ par la formule habituelle
$$ \det(A) = \sum_{\sigma \in \frak{S}_n}\varepsilon(\sigma)a_{1, \sigma(1)}\ldots a_{n, \sigma(n)}. $$
(Notons que si $A$ est de caractéristique 2, la signature n'intervient pas en fait.)
Puis, pour redémontrer les formules usuelles, par exemple que le déterminant est multiplicatif, ou la formule de la comatrice, tu peux utiliser l'universalité des anneaux de polynômes.
Zo

Quelques précisions : traitons par exemple la multiplicativité du déterminant.
Déjà on remarque que si $A$ est intègre, on connaît déjà le résultat : il suffit de plonger $A$ dans son corps des fractions et le tour est joué.
Dans le cas général, soient deux matrices $M = (a_{i,j})$ et $N = (b_{i,j})$ à coefficients dans $A$.
Il existe un unique homomorphisme d'anneaux
$$ \Z[X_{i,j}, Y_{i, j}, 1 \leq i, j \leq n] \longrightarrow A$$
envoyant $X_{i,j}$ sur $a_{i,j}$ et $Y_{i,j}$ sur $b_{i,j}$.
Comme le résultat est déjà connu dans $\Z[X_{i,j}, Y_{i,j}]$ qui est intègre (cf remarque précédente), on en déduit la formule voulue dans $A$.

Zo.