espaces supplémentaires
bonjour j'ai un petit exercice qui me pose probléme:soient E un espace vectoriel de dimension finie et A et B deux sous espaces vectoriels de E de même dimension
montrer qu'il existe un sous espace vectoriel C de E tel que
E=A$\oplus$B=B$\oplus$C(j'ai essayé de faire une recurrence sur dimE-dimA mais c'est pas trés élegeant) merci d'avance
montrer qu'il existe un sous espace vectoriel C de E tel que
E=A$\oplus$B=B$\oplus$C(j'ai essayé de faire une recurrence sur dimE-dimA mais c'est pas trés élegeant) merci d'avance
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Réponses
Une idée de réponse où transparait quand même une récurrence:
si $A=B$ la question est triviale, sinon on peut trouver $u_A$ élément de $A$ mais pas de $B$ et $u_B$ élément de $B$ mais pas de $A$ (puisque $A$ et $B$ ont même dimension). Soit alors $x=u_A+u_B$. Par construction $x$ n'est ni élément de $A$ ni élément de $B$ et donc les espaces $C_A=vect(A,x)$ et $C_B=vect(B,x)$ sont de même dimesion égale à $dim A+1$ qui est aussi égal à $dim B+1$.
On recommence alors le raisonnement avec $C_A$ et $C_B$: soit ils sont égaux et c'est fini soit on trouve $v_A$ élément de $C_A$ mais pas de $C_B$ et $v_B$ élément de $C_B$ mais pas de $C_A$ etc....
On est assuré que le processus décrit ci-dessus se termine car $E$ est de dimension finie. A la fin du processus l'espace engendré par $x$ et tous les autres vecteurs construits à chaque étape est le supplémentaire $C$ recherché.
En espérant t'avoir aidé...
Efji
- Soit S l'ensemble des sous espaces vectoriels qui ont une intersections réduite à {0} avec A et B. S est clairement non vide et la dimension des éléments de S est majorée par dim E - dim A
- Considérons la dimension maximale des éléments de S. Soit donc un sous espace C, élément de S et de dimension maximale. Si par hasard, (A+C) union (B+C) était différent de E, on pourrait ajouter une dimension à C en y "ajoutant" un élément qui n'appartient pas à l'union précédente.
Donc (A+C) union (B+C) = E. On peut donc démontrer que A+C ou B+C est égal à E et c'est terminé...