Nombre d'orbites d'une opération ?

Je reviens sur ce que j'ai dit. L'argument « Tu peux aussi remarquer que Im(P)=K^2 et que donc pour tout X non nul il existe Y non nul tel que X=PY, et de même la seule solution de l'équation en Y 0=PY est Y=0. » n'est pas suffisant.


En fait ce que tu dois voir c'est que
- Les orbites partitionnent K^2.
- Si X et Y sont des vecteurs non nuls, il existe P inversible telle que X=PY. En fait c'est plus fort que ça, on a même : si (X,X') et (Y,Y') sont des bases de K^2, il existe P inversible telle que X=PY et X'=PY' (P est la matrice de changement de base). Ici, X' et Y' n'ont pas d'importance du moment qu'on a bien des bases.
- Si X=0, pour tout P tu as PX=0.

Salut

Tu as compris le cas nul donc je traite seulement le cas non nul :

Prends X dans $K^2 \backslash \{ 0 \}$, tu souhaites déterminer son orbite c'est-à-dire l'ensemble des PX avec P inversible.
Déterminer son orbite, ça veut dire trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un élément donné Y appartienne à l'orbite.

Soit donc Y. Si Y vaut 0 alors Y n'appartient pas à l'orbite de X.

Tu as déjà un élément de réponse : « Y différent de 0 » est une condition nécessaire pour que Y appartienne à l'orbite de X.

Ensuite tu vérifies que c'est une condition suffisante (puisqu'ici c'est effectivement le cas). Pour celà il te suffit de trouver une matrice P inversible telle que X=PY. Pour ça tu peux par exemple résoudre le système d'équation en P : X=PY (en sachant que t'auras une infinité de solution).

Si tu veux éviter de faire des calculs, tu peux faire une petite disjonction des cas.
1er cas : X et Y sont colinéaires c'est-à-dire X=aY avec a € K*. Dans ce cas tu prends
\[ P = \left( \begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array} \right) \]

2nd cas : X et Y ne sont pas colinéaires, autrement dit (X,Y) et (Y,X) sont des bases de K^2. Un théorème de ton cours t'assure, deux bases (u,v) et (u',v') étant données, de l'existence d'une matrice inversible P telle que u'=Pu et v'=Pv. En appliquant ce théorème aux deux bases données ci-dessus, tu as donc l'existence d'une matrice P inversible telle que X=PY (et accessoirement Y=PX, mais on s'en fiche !).

(Si tu n'es pas convaincu, en notant $\mathcal{C}$ la base canonique, $\mathcal{B}$ la base (X,Y) et $\mathcal{B}'$ la base (Y,X) tu as :
\[ X = P_{\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{B}} \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) \]
\[ \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) = P_{\mathcal{B}' \rightarrow \mathcal{C}} Y \]

Et de là

\[ X = P_{\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{B}} P_{\mathcal{B}' \rightarrow \mathcal{C}} Y \]
Où j'ai noté $P_{A \rightarrow B}$ la matrice de passage de la base A à la base B.)




On a donc montré : X différent de 0 étant donné, une condition nécessaire et suffisante pour que Y appartienne à l'orbite de X est que Y soit différent de 0. Autrement dit : l'orbite de X est {\bf exactement} les vecteurs non nuls de $K^2$.

On a traité le cas X nul et le cas X non nul, on a donc traité tous les cas et l'étude est finie !

J'espère m'être mieux expliqué (et surtout n'avoir pas dit de connerie).

Oui, tout à fait d'accord avec la formule :
$$\displaystyle X = P_{\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{B}} P_{\mathcal{B}' \rightarrow \mathcal{C}} Y $$,

j'ai écrit cela en rapport avec ton deuxième message où tu écris que la matrice P recherchée est la matrice de changement de base et les bases sont b=(X,X') et b'=(Y,Y'), désolé.

Enfin, c'est peut-être une matrice de changement de base, mais pas de la base qui nous intéresse ...