relation d ordre sur un groupe

Bonjour Jacques.

Je ne connais pas la réponse de Ramis, mais c'est en posant $x \prec y \iff y - x \in P$ me semble-t-il.

Pourquoi cela ne te conviendrait-il pas ?

Bruno

Il faut simplement faire une analyse ; rassemblons nos idées.

Un groupe ordonné est un couple $(G,\prec)$ où $G = (E,+)$ est un groupe commutatif et $\prec$ est une relation d'ordre sur $E$ satisfaisant :
$$\forall\,(x,y,z) \quad (x \prec y) \Longrightarrow (x + z \prec y + z)$$

Donnons-nous un groupe ordonné $(G,\prec)\ \big($il en existe comme $(\Z,\leq)\big)$ et posons $P = \{x \in E \mid 0 \prec x\}$. Cet ensemble n'est pas vide car il contient $0$, il est stable par addition : si $x \in P$ et $y \in P$, alors : $0 \prec x$ donc $y \prec x + y$ (axiome) et comme $0 \prec y$, on déduit par transitivité $x + y \in P$ ; par conséquent $P + P \subset P$ (et pas $P + P \subset E$ qui est une trivialité).

D'autre part, si $x \in -P$, alors $-x \in P$ ; donc $0 \prec -x$ d'où (axiome) $x \prec 0$ par conséquent, $x \in (-P) \cap P$ implique $x = 0$ ; la réciproque est élémentaire.

Notons que l'ordre est total si, et seulement si $E = P \cup (-P)$.

En résumé, si $(G,\prec)$ est un groupe ordonné, alors l'ensemble des éléments positifs $P$ vérifie les deux propriétés :$$P + P \subset P \quad {\rm et} \quad P \cap (-P) = \{0\}$$on dit que c'est un cône.

Réciproquement... On procède comme je l'ai écrit dans mon premier message, un cône définit un ordre compatible avec la loi de groupe.

Bruno