Il me semble qu'il s'agit des éléments de $\{1;...;n\}$ dont la décomposition en facteurs premiers contient tous les facteurs premiers distincts de $n$ . Si $n$ est premier ou même un produit de facteurs premiers tous distincts , $n$ est le seul élément nilpotent .
C'est l'image du radical de $n \Z$ par la surjection canonique.
En d'autres termes, c'est les réductions modulo n des éléments qui sont divisibles par tous les premeiers divisant n.
Pour les nilpotents de $\Z/360\Z$ c'est, comme l'a dit Domi, les multiples de $k=2\times 3\times 5=30$, parceque $k^3=2^3\times 3^3\times 5^3=0\pmod{360}$, et donc pour tout $y\in \Z, \ (30y)^3=30^3y^3=0\pmod{360}$
Réciproquement : si $x$ est nilpotent, il existe $n\in\N^*$ tel que $x^n=0\pmod{360}$, c'est à dire que $x^n = m 360 = m 2^3 3^2 5$. Alors en décomposant $x$ en facteurs premiers : $x=p_1^{a_1}\ldots p_r^{a_r}$ et en l'élevant à la puissance $n$ $$x^n= p_1^{na_1}\ldots p_r^{na_r} = m 2^3 3^2 5$$ En appliquant Gauss plusieurs fois de suite, il faut que, par exemple, $p_1=2$ et $na_1\geq 3$ donc $a_1\geq 1$, ensuite $p_2=3$ et $na_2\geq 2$ donc $a_2\geq 1$, enfin $p_3=5$ et $na_3\geq 1$ donc $a_3\geq 1$. En final $x$ est multiple de $p_1p_2p_3=2\times 3\times 5=30$
Réponses
Domi
C'est l'image du radical de $n \Z$ par la surjection canonique.
En d'autres termes, c'est les réductions modulo n des éléments qui sont divisibles par tous les premeiers divisant n.
Lebesgue
mais quand n=360 je n'en trouve aucun
Domi
alors $x \equiv 0 [$ mod$360]$
voila
Pour les nilpotents de $\Z/360\Z$ c'est, comme l'a dit Domi, les multiples de $k=2\times 3\times 5=30$, parceque $k^3=2^3\times 3^3\times 5^3=0\pmod{360}$, et donc pour tout $y\in \Z, \ (30y)^3=30^3y^3=0\pmod{360}$
Réciproquement : si $x$ est nilpotent, il existe $n\in\N^*$ tel que $x^n=0\pmod{360}$, c'est à dire que $x^n = m 360 = m 2^3 3^2 5$. Alors en décomposant $x$ en facteurs premiers : $x=p_1^{a_1}\ldots p_r^{a_r}$ et en l'élevant à la puissance $n$ $$x^n= p_1^{na_1}\ldots p_r^{na_r} = m 2^3 3^2 5$$ En appliquant Gauss plusieurs fois de suite, il faut que, par exemple, $p_1=2$ et $na_1\geq 3$ donc $a_1\geq 1$, ensuite $p_2=3$ et $na_2\geq 2$ donc $a_2\geq 1$, enfin $p_3=5$ et $na_3\geq 1$ donc $a_3\geq 1$. En final $x$ est multiple de $p_1p_2p_3=2\times 3\times 5=30$
Alain