exo groupe

Bonjour.
Voici l'énoncé d'un exercice de théorie des groupes issu du livre de J. Calais:
Soit $G$ un groupe d'ordre pair. Montrer qu'il existe un élément $x$ de $G$ distinct de $e$ , l'élément neutre, tel que $\ {x^2}=e$.

Ce que j'ai rédigé ne me semble pas tout à fait concluant:
On suppose que pour tout $x \in G$ distinct de $e$ on a $\ {x^2}$ $\neq e$.
Alors l'ensemble $A$ formé de ces $x$ est de cardinal pair: à tout $x$ on peut attacher un $\ {x^{-1}}$ .
Comme $G=A$ U {$e$}, on a donc $G$ d'ordre impair ce qui contredit l'hypotèse.