famille libre

Kamel2 · August 2006

Bonjour,

La proposition ci-dessous est-elle juste ? (je n'en suis pas sur)
Si oui, comment la justifier ? Merci pour votre aide.

Dans $\R^n$ muni du produit scalaire usuel, soient ($u_1$,...,$u_m$) et ($v_1$,...$v_m$) deux familles de vecteurs telles que la matrice carrée formée par les produits scalaires $(u_i,u_j)$ soit inversible. Alors les deux familles sont libres.

Guimauve · August 2006

Salut

J'imagine que tu voulais parler des produits scalaires $(u_i,v_j)$.
Par contraposée, si l'une des familles est liée, par exemple si $u_1 = \lambda_2 u_2 + ... + \lambda_n u_n$ alors $(u_1,v_j)=\lambda_2 (u_2,v_j) + ... + \lambda_n (u_n,v_j)$.

Il est alors immédiat que $L_1 = \lambda_2 L_2 + ... + \lambda_n L_n$ (où $L_i$ est le i-ème vecteur ligne).

LIautard4 · August 2006

Bonjour

Indication :
Soit A la matrice formée des colonnes u1...um et B des colonnes v1...vm
At*B est la matrice des (ui,vj)

Cordialement

Kamel2 · August 2006

merci à Guimauve pour la réponse (et d'avoir corrigé ma faute de frappe) et à Llautard pour l'indication d'une preuve peut être plus élégante.

Pour poursuivre cette dernière, on a $A^TB$ qui est inversible, ce qui entraine que $A^T$ est inversible à droite et $B$ inversible à gauche.

Et après ?

Kamel2 · August 2006

Autrement dit, pour préciser ma dernière question, quel argument permet de dire qu'une matrice $B \in \mathcal{M}_{n \times m}$ inversible à gauche est de rang $n$ ?

vp · August 2006

si $A^T B$ est inversible, $B$ est injective (en composant à gauche comme le veut l'habitude française) donc les vecteurs formés par ses colonnes forment une famille libre.
D'autre part, $(A^T

^T = B^T A$ est aussi inversible, donc on conclut pareil pour $A$.