Topologie algébrique

ThePhysicist · August 2006

Un grand bonjour à tous !!!

Tout d'abord, étant donné que ça fait longtemps que je ne me suis connecté, je me présente à nouveau. Gaël Heizmann, je suis (futur) physicien, et je reconnais que malgré tout, ce sont les mathématiques appliquées à la physique fondamentale qui m'attirent le plus !

Voilà, voilà pour les présentations. Pour le reste, voici tout de même le sujet de ce fil. Je voulais sombrer fût un temps dans les méandres de la géométrie algébrique et de tous les concepts primitifs s'y rattachant. Malheureusement, il se trouve que je ne dispose pas de tous les théorèmes clés pour aborder cette discipline (notamment les fameux théorèmes réputés difficiles démontrés dans le "Cartan"). Autre malheur, justement, quand on parle du Cartan... Il n'est plus réédité... (mais... que font nos éditeurs des excellents ouvrages ?)

Ma question est donc la suivante : quelqu'un aurait-il une astuce, un procédé, pour aborder la discipline de la géométrie algébrique en douceur - pour un physicien qui ne connaît pas forcément TOUS les théorèmes de maths sur le bout des doigts ???

Il me semble nécessaire de vous préciser mon niveau en mathématiques - pour économiser quelques postes. Je dirai que je maîtrise très bien le programme de CPGE, en ce qui concerne "aller plus loin", je dirai que ça ressemble à de la cuisine. Voilà, voilà ! Un grand merci à tous et à toutes pour m'aider dans mon entreprise.

Cordialement,
Gaël.

Efji · August 2006

Salut Gaël,

Mon opinion là dessus est que le meilleur moyen d'aborder sereinement la géométrie algébrique moderne est d'avoir de solides connaissances en algèbre commutative (essentiellement, l'étude approfondie des anneaux et modules)... Un schéma affine, par exemple (qui constitue un des objets de base de la géométrie algébrique moderne) n'est après tout, d'un point de vue purement ensembliste, que l'ensemble des idéaux premiers d'un anneau.

Dans ce but, je pense que la lecture de "Commutative algebra" d'Atiyah et Mc Donald ou du plus ambitieux livre de Matsumura (ayant le même titre, il me semble) peut constituer un excellent départ.

Suite à ça, ou plus ou moins simultanément, je pense que le livre de Liu "Algebraic geometry and arithmetic curves" constitue une excellente référence assez accessible, qui plus est (au moins concernant les premiers chapitres).

Une bonne maitrise de la topologie générale est bien entendu nécessaire aussi... mais ce n'est généralement pas ce point là qui pose le plus de problèmes.

Bonne chance à toi,

Efji.

LIautard4 · August 2006

Bonjour

La géométrie algébrique serait utile en physique ? Peut-être! après tout.
Pour un physicien d'autres domaines me sembleraient plus utile.

Cordialement

Le barbu rasé · August 2006

Il faudrait sans doute changer le titre : ThePhysicist semble s'interresser à la géométrie algébrique plutôt qu'à la topologie algébrique (corrige-moi si je me trompe ThePhysicist).

ThePhysicist · August 2006

Merci pour ces réponses - en particulier la première. Je crois qu'il va falloir encore traîner dans les bibliothèques... Mmmh... Actuellement sur le sujet, je dispose du manuel de Berger et Gostiaux : "géométrie différentielle", chez PUF... Que pensez-vous de cet ouvrage Efji ? Pour ma part, il n'est pas très adapté pour démarrer, ça part un peu trop dans tous les sens, et il est difficile de suivre le fil conducteur...

Le barbu rasé : oui effectivement, le titre semblerait innaproprié... Encore plus sur un forum de mathématiques (après tout, les mathématiciens arrivent je ne sais par quel miracle à dissocier les différentes parties des mathématiques fondamentales). Pour expliquer un peu, disons que le physicien essaie de raccorder profondément les outils mathématiques entre eux, car il en émerge un certain fond intéressant, qui peut lui être appliqué à la physique. La topologie ne nous sert à rien de façon brut, pas plus que la géométrie. Mais en mélangeant les deux, on arrive par exemple à formuler des modèles de théorie de l'Univers (penser aux Univers chiffonnées de M. Luminet par exemple).

LIautard : bien, bien... Et oui, en physique, on utilise tout l'arsenal des mathématiques fondamentales ! Certains physiciens vont jusqu'à "briser" certaines théories mathématiques pour arriver sur de nouvelles idées. Il suffit de regarder le travail de M. Schwartz ; les distributions sont nées d'un problème physique !!! Sur ce...

Cordialement,

Gaël.

Kms · August 2006

Il y a un cours de Thierry Masson (Orsay) qui va directement à l'essentiel orienté physique théorique, si tu veux je le mettrai en pièce jointe lorsque je l'aurais retrouvé (je l'ai) car son site est en construction. Mais je crois qu'il est inutile de perdre ton temps sur la théorie des schémas à la Grothendieck, ce qui compte c'est plutôt les résultats généraux qui sont des outils importants en Physique théorique mais si tu veux en savoir plus il faut changer de département (...)
Je te conseille plutôt d'étudier :
1) Les groupes et algèbres de Lie : Algèbre symétrique, tensorielle, représentations, symétrie, spin, dualité onde-corpusule, algèbres de Clifford et la géométrie symplectique ...

2) La géométrie différentielle moderne (c'est de la topologie algébrique) : Fibrés vectoriels, cohomologie de De Rham pour les formes différentielles, classes caractéristiques, classes de Chern et de Pontryagin, on évite grâce à cela les longs calculs de géométrie variationnelle classique (algébrisation de la théorie des variétés diff) sans aller jusqu'à la K-theorie .

3) Et enfin on peut terminer avec un peu de géométrie non commutative et les groupes quantiques à la Connes.

Voilà beaucoup de travail mais si tu maîtrises ça, tu pourras faire partie de l'équipe de Masson à Orsay ...

ThePhysicist · August 2006

Haha !!! Kms, merci pour ton soutien !

Sans vartardise aucune, je maîtrise le point no1 à peu près convenablement, en ce qui concerne le point no2... Ben... Beaucoup de lacunes, il semblerait ! Notammment toute la cohomologie !!! Hem, il me reste du pain sur la planche, semble-t'il.

Cordialement,

Gaël.

Yooo · August 2006

Bon courage pour la cohomologie...

C'est franchement du haut niveau d'abstraction, et les objets "on ne les comprend pas, on s'y habitue" disait un prof (assez connu) du département de math. Et la K-théorie, là, ca devient completement ouf..

bon courage donc

t-mouss

ThePhysicist · August 2006

Merci t-mouss !

Au fait, que devient Aviva ? :-) en ce qui concerne la cohomologie, je m'y initie en faisant justement des exercices appliqués ! Je crois qu'il s'agit là d'un bon moyen d'introduire le sujet, puisque l'on apprend ce à quoi sert la cohomologie. Mais bon, ce n'est pas facile, arf ! Il y a tellement de choses à savoir !!!

Un grand merci pour ces encouragements chaleureux,
Cordialement,
Gaël.

Quantum fieldness · August 2006

Tiens d'ailleurs toi qui fait de la physique, saurais-tu à quoi servent les algèbres de courants ? Je dois calculer le second groupe de L-cohomologie (cohomologie de Leibniz) d'une algèbre de courant. Une algèbre de courant C étant une algèbre de Lie produit tensoriel d'une algèbre de Lie simple de dimension finie g avec une g-algèbre associative comutative unitaire A : $C=A \otimes g$. La cohomologie de leibniz etant une version non-anti-symétrique de la cohomologie de Lie (sorte de généralisation).

Apparement ca sert en physique quantique, mais je ne sais pas à quoi. En plus y a des liens entre L-cohomologie / cohomologie de Lie et cohomologie de Hoschild / cohomologie simpliciale (enfin je crois)...

t-mouss

Topologie algébrique

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