Classes de conjugaison de An

En fait, chaque classe de conjugaison de $S_n $ est soit :
-hors de $A_n $ si ses elements sont impairs ;
-elle-meme une classe de conjugaison de $A_n $ si ses elements sont pairs et commutenet avec certaines permutations impaires ;
-la reunion de deux classes de conjugaison de $A_n $ si ses elements sont pairs et ne commutent avec aucune permutation impaire.

Par exemple, si le support d'une permutation paire evite au moins deux elements, ses classes de conjugaisons dans $A_n $ et $S_n $ sont les memes ; si dans sa decomposition en cycles, on a des cycles de longueur paire, alors le resultat est vrai aussi ; egalement, si on a deux cycles de meme longueur impaire, la permutation commute avec un produit d'un nombre impair de transpositions (par exemple $(1,...,n)(n+1,...,2n)$ commute avec $(1,n+1)(2,n+2)...(n,2n)$) et le resultat est encore valide.

Par contre, si dans la decomposition en cycles on ne trouve que des cycles de differentes longueurs impaires et qu'il y a au plus un point fixe, alors cette permutation ne commute avec aucune permutation impaire et sa classe de conjugaison dans $S_n $ se compose de deux classes de cojugaison dans $A_n $. (En particulier, la classe dans $S_n $ d'un cycle de longueur impaire maximale est la reunion de deux classes de $A_n $).