exisence de base

yoo · August 2006

bonjour,j'ai un petit probléme ,j'arrive pas à démontrer la propriété suivante:soit E un espace vectoriel de dimension finie ,f un endomorphisme de veifiant f²=id soit E={x+f(x),x$\in$E} et E'={x-f(x),x$\in$E} montrer qu'il existe une base (e$\_i$)de E verifiant f(e$\_i$)=e$\_i$ou f(e$\_i$)=-e$\_i$ pour chaque i merci d'avance

yoo · August 2006

aprés f²=id soit E''=.... et pas E .E'' et E' sont des ensembles

Bruno · August 2006

Regarde déjà l'action de $f$ sur $E$ et sur $E'$.

Bruno

Bruno · August 2006

OK $E''$ et pas $E$... Cela ne change rien à l'idée de base.

Bruno

LIautard4 · August 2006

Bonjour

f²=Id donc f annulle le polynôme: X² -1
La conclusion est immédiate !

Cordialement

yoo · August 2006

Je ne vois ce que vous voulez dire, j'ai démontré que E' et E'' sont supplémentaires dans E mais je ne sais pas comment constuire cette base vérifiant ces hypothèses
Merci

LIautard4 · August 2006

Bonjour

Si f annulle X²-1, il est diagonalisable et ses valeurs propres sont 1 ou -1
donc !

Cordialement

yoo · August 2006

Bonjour, je n'ai pas compris votre réponse tout simplement parceque je n'ai pas encore fait la réduction.

ThePhysicist · August 2006

Evidemment, sans la réduction... Dur, dur !!! Quand on est habitué à un outil aussi commode... :-/

Si j'ai le temps, je regarderai volontiers comment contourner ce gros morceau de cours !

Cordialement,

Gaël.

LIautard4 · August 2006

Bonjour

Désolé! : L3/M1... je pensais que la réduction était connue.
L'indication de Bruno doit te permettre de retrouver le résultat que je t'ai donné.

Cordialement

Bruno · August 2006

Pour yoo.

Si réellement, tu as montré $E = E' \oplus E''$, le travail est terminé ; il n'y a plus qu'à tirer quelques ficelles.

Bruno

yoo · August 2006

J'ai montré que les deux espaces sont supplémentaires dans E, mais je n'arrive pas à montrer correctement l'existence de cette base

Philippe Malot · August 2006

J'ai changé le niveau en L1/L2.

Ludovic · August 2006

yoo> tu peux nous montrer comment tu démontres que E' et E'' sont supplémentaires.
que vérifient les éléments de E'? de E''?

yoo · August 2006

soit x$\in$E x=1/2(x-f(x))+1/2(x+f(x)) donc E=E'+E''
soit a$\in$E'etE'' donc a=x+f(x), x$\in$E
a=x'-f(x'),x$\in$E
donc f(x+x')=x'-xdonc f²(x+x')=x+x'=f(x)+f(x') donc a=0
donc E=E'$\oplus$E''

Ludovic · August 2006

Ok mais la dernière égalité est f²(x+x') = x + x' = -f(x) + f(x').
Que dis-tu des éléments de E' et de E''? Que vérifient-ils?

yoo · August 2006

vraiment j'ai pas bien compris votre question

Ludovic · August 2006

Oubli un instant la question initiale : Quelles propriétés ont les éléments de E' (par rapport à f)? idem pour E''?

yoo · August 2006

f²=id donc f est la symetrie de E par rapport à ker(f-id)et parallélement à ker(f+id)

Ludovic · August 2006

Oui mais là E' et E'' sont définis par les images de ces applications. Ma question est d'une manière plus simple (trop directe à mon goût) : que dire de f(x) si x est un élément de E'? idem de E''?

Question générale : si E est la somme directe de F et de G, que peux-tu dire de la donnée conjointe d'une base de F et d'une base de G?

Bruno · August 2006

yoo, il faut sortir de la compréhension littérale et formelle. Ludovic est en train de te ramener, avec la plus admirable des patiences, à la teneur de mon premier message.

Bruno

yoo · August 2006

pour tout a$\in$E'' a=x+f(x) donc f(a) =f(x)+x=a
pour tout a$\in$E' a=x-f(x) donc f(a)=f(x)-x=-a
donc f est la symétrie par rapport à E'' parallélement à E'

Bruno · August 2006

Bien.

Bruno

yoo · August 2006

je vois trés bien ce qu'il faut faire,on prend (e'1,.....,e'k) une base de E' et (e"1,.....,e"k) une base de E" on pose alors ei=e'i pou tout i$\leq$k
et ei= e"i pour i>k la famille des (ei) est une base de E: on à alors f(ei)=ei
por i$\leq$k et f(ei)= -ei sinon

yoo · August 2006

merci pour vous tous vraiment vous êtes trés sympas

Bruno · August 2006

C'est Ludovic qu'il faut spécialement remercier.

Bruno

exisence de base

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