Nombres premiers et quaternions

Il faut mieux considerer les quaternions d'Hurwitz

Joaopa

Sylvain tu parles d'entiers de Gauss et ca me fait penser que je n'ai jamais su a quoi ils servaient.
Je sais que $\Z$ est un anneau, qu'il est euclidien donc les proprietes theoriques on va dire (enfin les plus simples surement) mais a quoi il sert et pourquoi Gauss en a u besoin, pas la moindre idee
Si quelqu'un a 5 minutes a perdre pour m'expliquer ca

Car les quaternions d'Hurwitz est un ordre maximal de $\mathbb{H}(\Q)$ et qu'il possede aussi des bonnes propriétés arithmétiques. En particulier, il est euclidien (aussi bien à droite qu'à gauche). Le stathme euclidien est bien évidemment la norme des quaternions.

Pour $\Z$ deux autres applications:
la premiere:décrire les solutions de l'equation de Fermat pour $n=2$.
la seconde: transcendance de $e^\pi$ (Gel'fond, 1929)

Gauss en a besoin pour montrer la loi de reciprocité bi-quadratique (voir abrégé d'histoire de mathematiques, Dieudonné pour un compte-rendu)

Joaopa

Merci Yalcin et Joaopa de vos reponses. autant je veux bien concevoir le rapport avec la somme de 2 carres ou Fermat mais la transcendance de $e^{\pi}$..Sont forts ces matheux. Mais j'endemande pas plus, je voulais pas rentrer dans les details techniques, c'est plus culturel

Pour Sylvain le stathme c'est ce qui rend ton anneau $A$ euclidien cad l'application $\phi$ de $A^*$ dans $\N$ tel que (et la il faut coller la definition d'un anneau euclidien que j'ai la flemme de taper)
Par exemple, le stathme de $\Z$ c'est $\phi(a)=|a|$, celui de de $\Z$, c'est $\phi(x+iy)=x^2+y^2$, celui de $K[X]$, c'est $\phi(P)=d°P$..