Quelques résultats d'algèbre linéaire
1) D'abord je narrive pas à même amorcer quelque chose sur la décomposition de Dunford, je ne sais pas quel résultat exploiter :
A=D+N. A quelle condition A est semblable à D ? Si A réelle, D et N réelles ? Si A inversible, D inversible ?
2) Si A inversible tq A^k diagonisable alors A diagonalisable ?
3) N nilpotente. Montrer que I+N inversible.
Montrer que Si A inversible et commute avec N, A+N inversible.
Je pense que ce sont des résultats simples en plus je ne suis pas du tout inspiré aujourd'hui
A=D+N. A quelle condition A est semblable à D ? Si A réelle, D et N réelles ? Si A inversible, D inversible ?
2) Si A inversible tq A^k diagonisable alors A diagonalisable ?
3) N nilpotente. Montrer que I+N inversible.
Montrer que Si A inversible et commute avec N, A+N inversible.
Je pense que ce sont des résultats simples en plus je ne suis pas du tout inspiré aujourd'hui
Réponses
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Début de la 3) : (I+N)^-1=somme de 1 à l'indice de N des N^k.
Ca suffit à l'existence de l'inverse ? -
Bonsoir
Pour 1) : A et D ont le même polynôme caractéristique (c'est dans le théorème de décomposition) donc les mêmes valeurs propres. De plus "inversible" équivaut à "n'a pas 0 comme valeur propre". Donc effectivement si A est inversible alors D aussi. -
Q3.
Si $N$ nilpotente, il existe $k\in\N$ tel que $N^k=0$. Que vaut $(I-N)(I+N+N^2+\dotsb+N^{k-1})$ ? Et remplaçant $N$ par $-N$ ?
Si $A$ commute avec $N$ alors $(A-N)(A^{k-1}+A^{k-2}N+\dotsb+AN^{k-2}+N^{k-1})=A^k-N^k=A^k$ et $A$ étant inversible, on a $(A-N)(A^{k-1}+A^{k-2}N+\dotsb+AN^{k-2}+N^{k-1})(A^{-1})^k=Id$ donc $A-N$ est inversible (de même pour $A+N$).
Au passage, il n'y a pas d'algèbre linéaire là-dedans, ça marche dans n'importe quel anneau. -
cordwainer > jai pas compris ton explication
je ne vois pas non plus du tout la 2 -
Et un petit merci pour t'avoir fait la question 3 ? Non ?
Ce n'est pas grave ... tu pourras trouver la réponse à la question 2 dans
Berkeley Problems in Mathematics
P.N. de Souza, J.N. Silva
Springer
C'est le problème 7.6.2 dans la seconde édition (je ne suis pas allé voir si le numéro a changé dans la troisième édition). La solution est détaillée sur une demi-page. -
si A est semblable à D, A est diagonalisable, et donc N est nulle et A:D.
Si A est réelle, A= \bar A. Mais \bar A=\bar D+ \bar N. par unicité de la décomposition, D et N sont réelles.
Si A est inversible, D=A-N=A(I-A^{-1}N)=A(I-N') l'est aussi, puisque N' est nilpotente, car A et N commutent, et que A^{-1} est un polynôme en A..
Pour la 2:
A=D+N
d'où A^2=D^2+2ND+N^2.. Donc A^2=D^2 (D'APRÈS 1) et N^2=-2ND, mais comme D est inversible car N l'est, on a Ker N=Ker N^2, et donc N est nulle et A est égal à D. je vous laisse généraliser -
Pour la 2 : On travaille dans $\C$.
$A^k$ diagonalisable implique l'existence d'un polynôme annulateur (de $A^k$) scindé à racines simples, appelons le $\displaystyle{P(X) = \prod_{i=1}^{d} (X - x_i)}$
On a donc : $\displaystyle{P(A^k) = \prod_{i=1}^{d} (A^k - x_i.Id) = 0}$
En particulier en posant $\displaystyle{Q(X) = \prod_{i=1}^{d} (X^k - x_i)}$, on remarque qu'on dispose d'un polynôme annulateur (de $A$), $Q$, scindé (c'est ici qu'intervient le fait qu'on travaille dans $\C$), ... mais qui n'est pas nécessairement à racines simples : 0 peut être racine multiple !
Cependant si 0 est racine multiple d'ordre $r$ du polynôme $Q$ alors comme $Q(A) = 0$, en posant $R(X) = Q(X) X^{1-r}$, on obtient $R(A) = Q(A) A^{1-r} = 0$ ($A$ est inversible par hypothèse) et $R$ est un polynôme annulateur (de $A$) scindé à racines simples ce qui implique que $A$ est diagonalisable.
Sauf si je me suis planté qqpart bien entendu.
SadYear
17'5 n1c3 70 83 1mp0r74n7, 8u7 17'5 m0r3 1mp0r74n7 70 83 n1c3. -
Je vous trouve bien gentils avec une personne qui n'est pas capable de dire merci ... (d'un autre côté, pourquoi s'étonner alors qu'elle ne sait pas non plus dire bonjour ... je me demande encore pourquoi je lui ai résolu une partie de son problème ...).
-
Merci pour vos réponses !!! Ca ma grandement aidé.
Eric > jai toujours dit bonjour et merci (regarde mes autres topics), là ce fut un oubli.
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Bonjour!
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