Quelques résultats d'algèbre linéaire
1) D'abord je narrive pas à même amorcer quelque chose sur la décomposition de Dunford, je ne sais pas quel résultat exploiter :
A=D+N. A quelle condition A est semblable à D ? Si A réelle, D et N réelles ? Si A inversible, D inversible ?
2) Si A inversible tq A^k diagonisable alors A diagonalisable ?
3) N nilpotente. Montrer que I+N inversible.
Montrer que Si A inversible et commute avec N, A+N inversible.
Je pense que ce sont des résultats simples en plus je ne suis pas du tout inspiré aujourd'hui
A=D+N. A quelle condition A est semblable à D ? Si A réelle, D et N réelles ? Si A inversible, D inversible ?
2) Si A inversible tq A^k diagonisable alors A diagonalisable ?
3) N nilpotente. Montrer que I+N inversible.
Montrer que Si A inversible et commute avec N, A+N inversible.
Je pense que ce sont des résultats simples en plus je ne suis pas du tout inspiré aujourd'hui
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Réponses
Ca suffit à l'existence de l'inverse ?
Pour 1) : A et D ont le même polynôme caractéristique (c'est dans le théorème de décomposition) donc les mêmes valeurs propres. De plus "inversible" équivaut à "n'a pas 0 comme valeur propre". Donc effectivement si A est inversible alors D aussi.
Si $N$ nilpotente, il existe $k\in\N$ tel que $N^k=0$. Que vaut $(I-N)(I+N+N^2+\dotsb+N^{k-1})$ ? Et remplaçant $N$ par $-N$ ?
Si $A$ commute avec $N$ alors $(A-N)(A^{k-1}+A^{k-2}N+\dotsb+AN^{k-2}+N^{k-1})=A^k-N^k=A^k$ et $A$ étant inversible, on a $(A-N)(A^{k-1}+A^{k-2}N+\dotsb+AN^{k-2}+N^{k-1})(A^{-1})^k=Id$ donc $A-N$ est inversible (de même pour $A+N$).
Au passage, il n'y a pas d'algèbre linéaire là-dedans, ça marche dans n'importe quel anneau.
je ne vois pas non plus du tout la 2
Ce n'est pas grave ... tu pourras trouver la réponse à la question 2 dans
Berkeley Problems in Mathematics
P.N. de Souza, J.N. Silva
Springer
C'est le problème 7.6.2 dans la seconde édition (je ne suis pas allé voir si le numéro a changé dans la troisième édition). La solution est détaillée sur une demi-page.
Si A est réelle, A= \bar A. Mais \bar A=\bar D+ \bar N. par unicité de la décomposition, D et N sont réelles.
Si A est inversible, D=A-N=A(I-A^{-1}N)=A(I-N') l'est aussi, puisque N' est nilpotente, car A et N commutent, et que A^{-1} est un polynôme en A..
Pour la 2:
A=D+N
d'où A^2=D^2+2ND+N^2.. Donc A^2=D^2 (D'APRÈS 1) et N^2=-2ND, mais comme D est inversible car N l'est, on a Ker N=Ker N^2, et donc N est nulle et A est égal à D. je vous laisse généraliser
$A^k$ diagonalisable implique l'existence d'un polynôme annulateur (de $A^k$) scindé à racines simples, appelons le $\displaystyle{P(X) = \prod_{i=1}^{d} (X - x_i)}$
On a donc : $\displaystyle{P(A^k) = \prod_{i=1}^{d} (A^k - x_i.Id) = 0}$
En particulier en posant $\displaystyle{Q(X) = \prod_{i=1}^{d} (X^k - x_i)}$, on remarque qu'on dispose d'un polynôme annulateur (de $A$), $Q$, scindé (c'est ici qu'intervient le fait qu'on travaille dans $\C$), ... mais qui n'est pas nécessairement à racines simples : 0 peut être racine multiple !
Cependant si 0 est racine multiple d'ordre $r$ du polynôme $Q$ alors comme $Q(A) = 0$, en posant $R(X) = Q(X) X^{1-r}$, on obtient $R(A) = Q(A) A^{1-r} = 0$ ($A$ est inversible par hypothèse) et $R$ est un polynôme annulateur (de $A$) scindé à racines simples ce qui implique que $A$ est diagonalisable.
Sauf si je me suis planté qqpart bien entendu.
SadYear
17'5 n1c3 70 83 1mp0r74n7, 8u7 17'5 m0r3 1mp0r74n7 70 83 n1c3.
Eric > jai toujours dit bonjour et merci (regarde mes autres topics), là ce fut un oubli.