application linéaire
Bonjour ,
une question à propos des endomorphismes , voilà j'ai un exo où nous avons une application linéaire f , et f appartient à L(E) tel que : f^3=f²+f+id , on demande de montrer que c'est un isomorphisme , la question est là , c'est une application linéaire , est ce que forcément toutes les applications linéaires ont cette "propriété" : f(0) =0 , je pense que oui mais pas sur voilà !
une question à propos des endomorphismes , voilà j'ai un exo où nous avons une application linéaire f , et f appartient à L(E) tel que : f^3=f²+f+id , on demande de montrer que c'est un isomorphisme , la question est là , c'est une application linéaire , est ce que forcément toutes les applications linéaires ont cette "propriété" : f(0) =0 , je pense que oui mais pas sur voilà !
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Réponses
Un peu de fantaisie ..
Attention, un endomorphisme $f$ de $E$ ne vérifie pas forcément la relation $f^3=f^2+f+Id_E$.
D'accord pour l'injectivité. Par contre ton raisonnement pour montrer que $f$ est surjective n'est valable que si $E$ est un espace de dimension finie ce qui n'est ceratinement pas dans tes hypothèses.
Bruno
Pour montrer la surjectivité dans le cas général il suffit de voir que $f(E)$ est un e.v. , et $f^3(E)\subset f^2(E)\subset f(E)\subset E$
De $I = f^3-f^2-f$ il découle que $\forall X\in E, X = f^3(X)-f^2(X)-f(X)$
Je te laisse montrer que $f^3(X)-f^2(X)-f(X)\in f(E)$ etc ..
Un peu de fantaisie ..
L'inverse de f est $f^2$-$f$-Id.
Je trouve le problème mal posé si l'on se restreint aux espaces de dimension infinie.
MMu vient de passer à côté de la solution induite par l'énoncé : si $f^3 = f^2 + f + Id$, alors :$$Id = f \circ (f^2 - f - Id) = (f^2 - f - Id) \circ f$$donc $f$ est un inversible d'inverse $f^2 - f - Id$ et c'est un automorphisme de $E$ {\bf quelle que soit la dimension de } $E$ ;-)
Bruno
Bruno
Merci d'avance
De $ I = f^3-f^2-f$ il découle que $ \forall X\in E, X = f^3(X)-f^2(X)-f(X)\in f(E)$ puisque $f^3(X),f^2(X,f(X)\in f(E)$ et $f(E)$ est un espace vectoriel.
On a donc $E\subset f(E)$, et comme $f(E)\subset E$ on a $f(E)=E$ donc surjectivité ..
Mais j'admets volontiers que la preuve de Bruno est plus sympa ...
Un peu de fantaisie ..
et si f surjective alors rg(f)=Dim(E)<=>injective<=>surjective , donc voilà c'est comme ça que j'ai fait ! on est en dimension finie ...
$ I = f^3-f^2-f$. Donc $I=f \circ (f^2-f-I))=(f^2-f-I)) \circ f$ (en dimension finie, on n'a pas besoin de l'écrire dans les deux sens, vois-tu pourquoi?). Donc $f$ est un isomorphisme d'inverse $f^2-f-I$.
C'est bien pour cela que je trouve cet exercice mal posé. Travaillant en espace de dimension finie, le rôle du polynôme devient presque anecdotique et l'on perd le thème de l'exercice. Si je l'avais posé, j'aurais au moins ajouté dans une seconde question : "montrer le résultat en dimension infinie".
Bruno